kaoyan1basic 高等数学 第617题
📝 题目
## 第617题 (高等数学 - 选择题) 在关于级数的如下四个结论中正确的结论是 （A）若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{2}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}^{2}$ 都收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+v_{n}\right)^{2}$ 收敛。 （B）若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_{n} v_{n}\right|$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{2}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}^{2}$ 都收敛。 （C）若正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散，则 $\displaystyle u_{n} \geqslant \frac{1}{n}$ ． （D）若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛，且 $u_{n} \geqslant v_{n}(n=1,2, \cdots)$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}$ 也收敛。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{2}{3}$ **解析**： 步骤1：$f(x,y,z)=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$，梯度$\displaystyle \nabla f = (\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}, \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}, \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}})$。 步骤2：散度$\displaystyle \operatorname{div}(\nabla f) = \frac{\partial}{\partial x}(\frac{x}{r}) + \frac{\partial}{\partial y}(\frac{y}{r}) + \frac{\partial}{\partial z}(\frac{z}{r})$，其中$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$。计算$\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(\frac{x}{r}) = \frac{r - x\cdot\frac{x}{r}}{r^2} = \frac{r^2 - x^2}{r^3}$，同理其他，总和$\displaystyle =\frac{3r^2 - (x^2+y^2+z^2)}{r^3} = \frac{2r^2}{r^3} = \frac{2}{r}$。在点$(1,-2,2)$处，$r=3$，故值为$\displaystyle \frac{2}{3}$。 **难度**：★★☆☆☆