kaoyan1basic 高等数学 第619题
📝 题目
## 第619题 (高等数学 - 选择题) 设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 是正项级数，$S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ 是它的部分和，则下列结论中 （1）若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} S_{n} a_{n}$ 发散。 （2）若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}}$ 收敛。 （3）若 $\left\{n a_{n}\right\}$ 是有界数列，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收敛。 （4）若 $a_{n}>a_{n+1}(n=1,2,3, \cdots)$ 且 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛。 正确的是 （A）（1），（2）． （B）（2），（3）． （C）（3），（4）． （D）（4），（1）． 答题 区
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：判断(1)正确。$\sum a_n$收敛，则$S_n$有界且趋于常数$S>0$，$S_n a_n \sim S a_n$，故$\sum S_n a_n$发散。 步骤2：判断(2)正确。由$\sum a_n$收敛，$S_n$单调递增有上界，$\displaystyle \frac{a_n}{S_n} \leq \frac{a_n}{S_1}$，但需更精细分析：由Cauchy收敛准则，$\displaystyle \frac{a_n}{S_n}$可积性导致收敛。 步骤3：判断(3)错误。反例：$\displaystyle a_n = \frac{1}{\sqrt{n}}$，则$n a_n = \sqrt{n}$无界，但若取$\displaystyle a_n = \frac{1}{n}$，$n a_n=1$有界，$\displaystyle \sum a_n^2 = \sum \frac{1}{n^2}$收敛，但(3)的逆命题不成立。 步骤4：判断(4)错误。反例：$\displaystyle a_n = \frac{1}{n}$，单调递减趋于0，但$\displaystyle \sum \frac{1}{n}$发散。 **难度**：★★★☆☆