kaoyan1basic 高等数学 第20题
📝 题目
### 【强化篇】第20题（填空题） 20．设当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)=\int_{0}^{x} \sin (t x)^{2} \mathrm{~d} t$ 与 $x^{n}$ 是同阶无穷小，则正整数 $n=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$5$ **解析**：$f(x)=\int_{0}^{x}\sin(tx)^{2}\mathrm{d}t$，令$u=tx$，则$\displaystyle t=\frac{u}{x}$，$\displaystyle \mathrm{d}t=\frac{\mathrm{d}u}{x}$，当$t=0$时$u=0$，$t=x$时$u=x^{2}$，故$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x^{2}}\sin(u^{2})\frac{\mathrm{d}u}{x}=\frac{1}{x}\int_{0}^{x^{2}}\sin(u^{2})\mathrm{d}u$。当$x\to0$时，$u^{2}\to0$，$\sin(u^{2})\sim u^{2}$，故$\displaystyle \int_{0}^{x^{2}}\sin(u^{2})\mathrm{d}u\sim\int_{0}^{x^{2}}u^{2}\mathrm{d}u=\frac{x^{6}}{3}$，所以$\displaystyle f(x)\sim\frac{1}{x}\cdot\frac{x^{6}}{3}=\frac{x^{5}}{3}$，与$x^{5}$同阶，故$n=5$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：化简积分表达式
令 u = tx，则 t = u/x，dt = du/x。当 t=0 时 u=0，t=x 时 u=x^2。代入得 f(x) = ∫_{0}^{x^2} sin(u^2) * (1/x) du = (1/x) ∫_{0}^{x^2} sin(u^2) du。
公式：换元积分法
提示：注意积分限的变化，以及被积函数中 t 的替换。
步骤 2/3
目标：利用等价无穷小简化被积函数
当 x→0 时，u^2→0，sin(u^2) ~ u^2。因此 ∫_{0}^{x^2} sin(u^2) du ~ ∫_{0}^{x^2} u^2 du = (1/3) (x^2)^3 = x^6/3。
公式：sin(u^2) ~ u^2 (u→0)
提示：等价无穷小替换时注意变量趋于0的条件。
步骤 3/3
目标：得到 f(x) 的等价形式
f(x) ~ (1/x) * (x^6/3) = x^5/3。因此 f(x) 与 x^5 同阶，故 n=5。
公式：f(x) ~ x^5/3
提示：同阶无穷小意味着比值趋于非零常数。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。