kaoyan1basic 高等数学 第15题
📝 题目
### 【基础篇】第15题（解答题） 15．设 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^{2} \mathrm{e}^{n(x-1)}+a x+b}{5+\mathrm{e}^{n(x-1)}}$ ，求 $f(x)$ 并讨论 $f(x)$ 的连续性及可导性与 $a, b$ 的关系．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle f(x)=\begin{cases}x^2,&x>1\\ \frac{x^2+ax+b}{6},&x=1\\ ax+b,&x<1\end{cases}$，$a,b$满足$f(1)$连续且可导时$a=2,b=-1$ **解析**： 步骤1：$x>1$时，$e^{n(x-1)}\to\infty$，分子分母同除$e^{n(x-1)}$得$f(x)=x^2$。 步骤2：$x<1$时，$e^{n(x-1)}\to0$，得$\displaystyle f(x)=\frac{ax+b}{5}$。 步骤3：$x=1$时，$\displaystyle f(1)=\frac{1+a+b}{6}$。 步骤4：连续要求$\displaystyle \lim_{x\to1^+}x^2=1=\frac{1+a+b}{6}$且$\displaystyle \lim_{x\to1^-}\frac{ax+b}{5}=\frac{a+b}{5}=\frac{1+a+b}{6}$，解得$a=2,b=-1$。 步骤5：可导性：左导数$\displaystyle \frac{a}{5}=\frac25$，右导数$2$，相等，故可导。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求x>1时的f(x)
当x>1时，e^{n(x-1)}→∞，分子分母同除以e^{n(x-1)}，得f(x)=x^2。
公式：f(x)=x^2
提示：注意极限过程中指数函数的增长性。
步骤 2/5
目标：求x<1时的f(x)
当x<1时，e^{n(x-1)}→0，直接代入得f(x)=(ax+b)/5。
公式：f(x)= (ax+b)/5
提示：注意分母趋近于5。
步骤 3/5
目标：求x=1时的f(1)
当x=1时，e^{n(0)}=1，代入得f(1)=(1+a+b)/6。
公式：f(1)= (1+a+b)/6
提示：直接代入n无关。
步骤 4/5
目标：讨论连续性
连续要求左右极限等于函数值。右极限lim_{x→1^+}x^2=1，左极限lim_{x→1^-}(ax+b)/5=(a+b)/5，且f(1)=(1+a+b)/6。联立方程：1=(1+a+b)/6 且 (a+b)/5=(1+a+b)/6，解得a=2, b=-1。
公式：1=(1+a+b)/6, (a+b)/5=(1+a+b)/6
提示：注意左右极限表达式不同。
步骤 5/5
目标：讨论可导性
计算左导数：f'_-(1)=a/5=2/5；右导数：f'_+(1)=2。两者相等，故可导。
公式：f'_-(1)=a/5, f'_+(1)=2
提示：导数定义或直接求导。
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