kaoyan1basic 高等数学 第7题
📝 题目
### 第7题 I=$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-\sqrt{\cos x})(1-\sqrt[3]{\cos x}) \cdots(1-\sqrt[n]{\cos x})}{(1-\cos x)^{n-1}}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\frac{1}{2^{n-1}}$
**解析**： 步骤1：考虑 $x \to 0$ 时，对每个因子 $1 - \sqrt[k]{\cos x}$ 进行等价无穷小替换。由于 $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$，则 $\sqrt[k]{\cos x} = (1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2))^{1/k} = 1 - \frac{x^2}{2k} + o(x^2)$，因此 $$ 1 - \sqrt[k]{\cos x} \sim \frac{x^2}{2k}. $$
步骤2：分母中 $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$，故 $(1 - \cos x)^{n-1} \sim \left(\frac{x^2}{2}\right)^{n-1}$。
步骤3：分子为 $n-1$ 个因子的乘积，每个因子等价于 $\frac{x^2}{2k}$（$k=2,3,\dots,n$），因此分子等价于 $$ \prod_{k=2}^{n} \frac{x^2}{2k} = \frac{x^{2(n-1)}}{2^{n-1} \cdot n!}. $$
步骤4：原极限化为 $$ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^{2(n-1)}}{2^{n-1} \cdot n!}}{\left(\frac{x^2}{2}\right)^{n-1}} = \frac{1}{2^{n-1} \cdot n!} \cdot 2^{n-1} = \frac{1}{n!}. $$
步骤5：注意步骤3中乘积的指标从 $k=2$ 到 $n$，共 $n-1$ 项，乘积结果为 $\frac{x^{2(n-1)}}{2^{n-1} \cdot (2\cdot 3 \cdots n)} = \frac{x^{2(n-1)}}{2^{n-1} \cdot n!}$，但分母等价于 $\left(\frac{x^2}{2}\right)^{n-1} = \frac{x^{2(n-1)}}{2^{n-1}}$，故极限值为 $\frac{1}{n!}$。然而，检查发现 $n!$ 应为 $2\cdot 3 \cdots n = \frac{n!}{1}$，但实际乘积中缺 $k=1$ 项，故结果为 $\frac{1}{n!}$。但进一步核对：当 $n=2$ 时，原极限为 $\lim_{x\to 0} \frac{1-\sqrt{\cos x}}{1-\cos x} = \frac{1}{2}$，而 $\frac{1}{2!} = \frac{1}{2}$，正确。因此最终答案为 $\frac{1}{n!}$。
**难度**：★★★☆☆