kaoyan1basic 高等数学 第7题
📝 题目
### 【基础篇】第7题（填空题） 7． $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\arctan \sqrt{x}}{\sqrt{x}(1+x)} \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{\pi^2}{16}$ **解析**： 步骤1：令$t=\sqrt{x}$，则$x=t^2$，$dx=2t dt$，积分限$0$到$1$。 步骤2：原积分化为$\displaystyle \int_0^1 \frac{\arctan t}{t(1+t^2)} \cdot 2t dt = 2\int_0^1 \frac{\arctan t}{1+t^2} dt$。 步骤3：令$u=\arctan t$，则$\displaystyle du=\frac{1}{1+t^2}dt$，积分限$0$到$\displaystyle \frac{\pi}{4}$。 步骤4：原积分$\displaystyle =2\int_0^{\pi/4} u du = 2 \cdot \frac{1}{2}u^2|_0^{\pi/4} = \frac{\pi^2}{16}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：换元简化被积函数
令 t = √x，则 x = t²，dx = 2t dt，积分限从 0 到 1 变为 t 从 0 到 1。
公式：t = √x, dx = 2t dt
提示：注意根号换元后微分形式的变化。
步骤 2/4
目标：化简积分表达式
原积分化为 ∫₀¹ (arctan t)/(t(1+t²)) * 2t dt = 2∫₀¹ (arctan t)/(1+t²) dt。
公式：∫₀¹ (arctan √x)/(√x(1+x)) dx = 2∫₀¹ (arctan t)/(1+t²) dt
提示：约去 t 后积分形式更简洁。
步骤 3/4
目标：再次换元
令 u = arctan t，则 du = 1/(1+t²) dt，积分限 t 从 0 到 1 对应 u 从 0 到 π/4。
公式：u = arctan t, du = dt/(1+t²)
提示：注意反三角函数的导数公式。
步骤 4/4
目标：计算定积分
原积分 = 2∫₀^{π/4} u du = 2 * (1/2) u² |₀^{π/4} = (π/4)² = π²/16。
公式：∫ u du = u²/2
提示：积分限代入时注意计算。
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