kaoyan1basic 高等数学 第101题
📝 题目
### 第101题 若函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $\mathrm{e}^{x+2 y+3 z}+x y z=1$ 确定，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,0)}=$ $\_\_\_\_$ ． ✓ 纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{1}{3}\mathrm{d}x-\frac{2}{3}\mathrm{d}y$ **解析**： 步骤1：方程两边求全微分：$e^{x+2y+3z}(\mathrm{d}x+2\mathrm{d}y+3\mathrm{d}z)+yz\mathrm{d}x+xz\mathrm{d}y+xy\mathrm{d}z=0$。 步骤2：代入$(0,0)$，此时$z$满足$e^{0+0+3z}+0=1$，得$e^{3z}=1$，故$z=0$。 步骤3：代入得$1\cdot(\mathrm{d}x+2\mathrm{d}y+3\mathrm{d}z)+0+0+0=0$，故$\displaystyle \mathrm{d}z=-\frac{1}{3}\mathrm{d}x-\frac{2}{3}\mathrm{d}y$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求全微分
对方程 e^{x+2y+3z} + xyz = 1 两边求全微分，得 e^{x+2y+3z}(dx + 2dy + 3dz) + yz dx + xz dy + xy dz = 0。
公式：d(e^{x+2y+3z}) = e^{x+2y+3z}(dx+2dy+3dz), d(xyz)=yz dx + xz dy + xy dz
提示：注意全微分法则，对复合函数求微分时不要遗漏项。
步骤 2/4
目标：确定隐函数在(0,0)处的值
代入 x=0, y=0 到原方程，得 e^{0+0+3z} + 0 = 1，即 e^{3z}=1，解得 z=0。
公式：e^{3z}=1 ⇒ z=0
提示：代入时注意原方程中 xyz 项为0。
步骤 3/4
目标：代入已知点求微分关系
将 x=0, y=0, z=0 代入全微分方程，得 1·(dx + 2dy + 3dz) + 0 + 0 + 0 = 0，即 dx + 2dy + 3dz = 0。
公式：dx + 2dy + 3dz = 0
提示：代入后简化，注意 e^{0}=1。
步骤 4/4
目标：解出 dz
由 dx + 2dy + 3dz = 0 解得 dz = -1/3 dx - 2/3 dy。
公式：dz = -1/3 dx - 2/3 dy
提示：移项时注意符号。
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