kaoyan1basic 高等数学 第17题
📝 题目
### 【强化篇】第17题（解答题） 17．求 $\displaystyle \int_{1}^{y} \frac{d r}{\sqrt{2 x-x^{2}}}$
💡 答案解析
**答案**：$\arcsin(x-1)\big|_{1}^{y}$ **解析**： 步骤1：被积函数$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2x-x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-(x-1)^2}}$。 步骤2：积分得$\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-(x-1)^2}} = \arcsin(x-1)+C$。 步骤3：代入上下限得$\arcsin(y-1)-\arcsin(0)=\arcsin(y-1)$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：化简被积函数
将分母中的二次式配方：2x - x^2 = 1 - (x-1)^2，因此被积函数化为 1/√(1-(x-1)^2)。
公式：2x - x^2 = 1 - (x-1)^2
提示：注意完全平方公式的逆用。
步骤 2/3
目标：进行积分
积分 ∫ dx/√(1-(x-1)^2) = arcsin(x-1) + C。
公式：∫ du/√(1-u^2) = arcsin u + C
提示：令 u = x-1，则 du = dx。
步骤 3/3
目标：代入上下限
计算定积分：arcsin(y-1) - arcsin(0) = arcsin(y-1)。
公式：arcsin(0) = 0
提示：注意积分上限为 y，下限为 1。
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