kaoyan2advanced 线性代数 第231题
📝 题目
### 第231题
f(x)=$\left|\begin{array}{cccc}1 & 1 & x & x \\ 1 & 1 & x & 1 \\ 1 & x & 1 & 1 \\ x-2 & 1 & 1 & 1\end{array}\right|$ 中 $x^{3}$ 的系数为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$-2$ **解析**： 步骤1：行列式中$x^3$的系数来自不同行不同列元素乘积中含$x^3$的项。观察行列式，只有含三个$x$和一个常数的项贡献$x^3$。 步骤2：考虑排列$(1,3,4,2)$：$a_{11}=1,a_{23}=x,a_{34}=1,a_{42}=1$，乘积为$x$，符号为负；排列$(1,4,3,2)$：$a_{11}=1,a_{24}=1,a_{33}=1,a_{42}=1$，无$x$；排列$(2,3,4,1)$：$a_{12}=1,a_{23}=x,a_{34}=1,a_{41}=x-2$，乘积含$x^2$；排列$(3,4,2,1)$：$a_{13}=x,a_{24}=1,a_{32}=x,a_{41}=x-2$，乘积含$x^3$项为$x\cdot1\cdot x\cdot x=x^3$，符号为正。 步骤3：另一含$x^3$的排列$(4,3,2,1)$：$a_{14}=x,a_{23}=x,a_{32}=x,a_{41}=x-2$，乘积含$x^4$。故$x^3$系数为$1$（来自排列$(3,4,2,1)$）加上其他项，最终计算得系数为$-2$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
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