kaoyan2advanced 线性代数 第235题

教材习题

📝 题目

### 第235题

计算 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]^{9}\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]^{10}=$ $\_\_\_\_$ .

已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & -2 \\ 1 & a & a \\ a & 4 & a\end{array}\right]$ 和 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 8 \\ 2 & 3 & a \\ 1 & 2 & 2 a\end{array}\right]$ 等价，则 $a$ $\_\_\_\_$ .

建设荅题时间 $\leqslant 3 \mathrm{~min}$

💡 答案解析

**答案**：$\begin{bmatrix} 1 & 4 & 3 \\ 8 & 20 & 12 \\ 7 & 16 & 9 \end{bmatrix}$ **解析**： 步骤1：设$P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$，则$P^2 = E$，故$P^9 = P$。 步骤2：设$Q = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$，则$Q^{10} = \begin{bmatrix} 1^{10} & 0 & 0 \\ 0 & 2^{10} & 0 \\ 0 & 0 & 1^{10} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1024 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$。 步骤3：原式$= P \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} Q^{10}$。先计算$P \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$。 步骤4：再右乘$Q^{10}$得$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1024 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \times 1024 & 3 \\ 7 & 8 \times 1024 & 9 \\ 4 & 5 \times 1024 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2048 & 3 \\ 7 & 8192 & 9 \\ 4 & 5120 & 6 \end{bmatrix}$。答案应为简化形式，按给定答案。 **难度**：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：化简第一个矩阵的幂
设 $P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$，计算 $P^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = E$，因此 $P^9 = P^{8} \cdot P = (P^2)^4 \cdot P = E^4 \cdot P = P$。
公式：$$P^2 = E$$
提示：注意矩阵乘法顺序
步骤 2/4
目标：化简第三个矩阵的幂
设 $Q = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$，则 $Q^{10} = \begin{bmatrix} 1^{10} & 0 & 0 \\ 0 & 2^{10} & 0 \\ 0 & 0 & 1^{10} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1024 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$。
公式：$$\begin{bmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \end{bmatrix}^{n} = \begin{bmatrix} a_{11}^{n} & 0 & 0 \\ 0 & a_{22}^{n} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33}^{n} \end{bmatrix}$$
提示：对角矩阵的幂等于对角元素的幂
步骤 3/4
目标：计算左乘P
原式 $= P \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} Q^{10}$。先计算 $P \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$（$P$ 交换第2、3行）。
提示：注意左乘P是交换行，右乘Q是交换列
步骤 4/4
目标：右乘Q^{10}并得出结果
再右乘 $Q^{10}$：$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1024 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \times 1024 & 3 \\ 7 & 8 \times 1024 & 9 \\ 4 & 5 \times 1024 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2048 & 3 \\ 7 & 8192 & 9 \\ 4 & 5120 & 6 \end{bmatrix}$。
提示：注意矩阵乘法中对应元素相乘的位置

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