kaoyan2advanced 线性代数 第241题
📝 题目
### 第241题
设 $n(n>2)$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 满足 $2 \boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}+3 \boldsymbol{\alpha}_{3}=\mathbf{0}$ ， $\boldsymbol{\beta}$ 是任意 $n$ 维向量，若 $\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_{1}$ ， $\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, a \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性相关，则 $a=$ $\_\_\_\_$。
##
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{1}{3}$ **解析**： 步骤1：由$2\alpha_1 - \alpha_2 + 3\alpha_3 = 0$，得$\alpha_2 = 2\alpha_1 + 3\alpha_3$。 步骤2：向量$\beta + \alpha_1, \beta + \alpha_2, a\beta + \alpha_3$线性相关，则存在不全为零的$k_1, k_2, k_3$使$k_1(\beta + \alpha_1) + k_2(\beta + \alpha_2) + k_3(a\beta + \alpha_3) = 0$，整理得$(k_1 + k_2 + a k_3)\beta + (k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3) = 0$。 步骤3：代入$\alpha_2$，得$k_1\alpha_1 + k_2(2\alpha_1 + 3\alpha_3) + k_3\alpha_3 = (k_1 + 2k_2)\alpha_1 + (3k_2 + k_3)\alpha_3$。由于$\beta$任意，需系数为零，得$k_1 + k_2 + a k_3 = 0$，$k_1 + 2k_2 = 0$，$3k_2 + k_3 = 0$。取$k_2 = 1$，则$k_1 = -2$，$k_3 = -3$，代入第一式得$-2 + 1 - 3a = 0$，$\displaystyle a = -\frac{1}{3}$。 **难度**：★★★☆☆