kaoyan2advanced 线性代数 第249题
📝 题目
### 第249题
已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}a & 0 & -1 \\ 0 & a & 1 \\ -1 & 1 & a+1\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$a, a, a-1$ **解析**： 步骤1：计算特征多项式$|\lambda E - A| = \begin{vmatrix} \lambda - a & 0 & 1 \\ 0 & \lambda - a & -1 \\ 1 & -1 & \lambda - a - 1 \end{vmatrix}$。 步骤2：按第一行展开，得$(\lambda - a)[(\lambda - a)(\lambda - a - 1) - 1] - 1 \cdot [0 \cdot (-1) - 1 \cdot (\lambda - a)] = (\lambda - a)[(\lambda - a)(\lambda - a - 1) - 1] + (\lambda - a) = (\lambda - a)[(\lambda - a)(\lambda - a - 1)] = (\lambda - a)^2(\lambda - a - 1)$。 步骤3：令特征多项式为零，得特征值为$a, a, a-1$。 **难度**：★★☆☆☆
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