kaoyan2advanced 线性代数 第292题
📝 题目
### 第292题
设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\alpha}_{5}$ 都是四维列向量， $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}\right]$ ，非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\alpha}_{5}$ 有通解 $k \boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{\eta}=k(1,-1,2,0)^{\mathrm{T}}+(2,1,0,1)^{\mathrm{T}}$ ，则下列关系式中不正确的是 （A） $2 \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{4}-\boldsymbol{\alpha}_{5}=\mathbf{0}$ ． （B） $\boldsymbol{\alpha}_{5}-\boldsymbol{\alpha}_{4}-2 \boldsymbol{\alpha}_{3}-3 \boldsymbol{\alpha}_{1}=\mathbf{0}$ ． （C） $\boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}+2 \boldsymbol{\alpha}_{3}-\boldsymbol{\alpha}_{5}=\mathbf{0}$ ． （D） $\boldsymbol{\alpha}_{5}-\boldsymbol{\alpha}_{4}+4 \boldsymbol{\alpha}_{3}-3 \boldsymbol{\alpha}_{2}=\mathbf{0}$ ．
## 建衩荅题时间 $\leqslant 3 \mathrm{~min}$
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：由通解$k(1,-1,2,0)^T+(2,1,0,1)^T$，知$\boldsymbol{\xi}=(1,-1,2,0)^T$是$\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}$的解，$\boldsymbol{\eta}=(2,1,0,1)^T$是$\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{\alpha}_5$的特解。 步骤2：由$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\xi}=\boldsymbol{0}$得$\boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2+2\boldsymbol{\alpha}_3=\boldsymbol{0}$；由$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\eta}=\boldsymbol{\alpha}_5$得$2\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_4=\boldsymbol{\alpha}_5$，即$2\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_4-\boldsymbol{\alpha}_5=\boldsymbol{0}$，故（A）正确。 步骤3：由$\boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2+2\boldsymbol{\alpha}_3=\boldsymbol{0}$得$\boldsymbol{\alpha}_2=\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_3$，代入$2\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_4=\boldsymbol{\alpha}_5$得$2\boldsymbol{\alpha}_1+(\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_3)+\boldsymbol{\alpha}_4=\boldsymbol{\alpha}_5$，即$3\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_4-\boldsymbol{\alpha}_5=\boldsymbol{0}$，故$\boldsymbol{\alpha}_5-\boldsymbol{\alpha}_4-2\boldsymbol{\alpha}_3-3\boldsymbol{\alpha}_1=\boldsymbol{0}$，（B）正确。 步骤4：由$\boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2+2\boldsymbol{\alpha}_3=\boldsymbol{0}$得$\boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2+2\boldsymbol{\alpha}_3-\boldsymbol{\alpha}_5=\boldsymbol{0}$不成立，因为$\boldsymbol{\alpha}_5$不为零向量，故（C）错误。 步骤5：由$\boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2+2\boldsymbol{\alpha}_3=\boldsymbol{0}$得$\boldsymbol{\alpha}_1=\boldsymbol{\alpha}_2-2\boldsymbol{\alpha}_3$，代入$2\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_4=\boldsymbol{\alpha}_5$得$2(\boldsymbol{\alpha}_2-2\boldsymbol{\alpha}_3)+\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_4=\boldsymbol{\alpha}_5$，即$3\boldsymbol{\alpha}_2-4\boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_4-\boldsymbol{\alpha}_5=\boldsymbol{0}$，故$\boldsymbol{\alpha}_5-\boldsymbol{\alpha}_4+4\boldsymbol{\alpha}_3-3\boldsymbol{\alpha}_2=\boldsymbol{0}$，（D）正确。 **难度**：★★★☆☆