kaoyan3basic 概率论与数理统计 第571题
📝 题目
### 第571题 571 设随机变量 $X, Y$ 均服从标准正态分布，则 （A）$X+Y$ 服从正态分布． （B）$X^{2}+Y^{2}$ 服从 $\chi^{2}$ 分布． （C）$\displaystyle \frac{X^{2}}{Y^{2}}$ 服从 $F$ 分布． （D）$X^{2}$ 和 $Y^{2}$ 均服从 $\chi^{2}$ 分布．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：$X,Y$独立同分布于$N(0,1)$时，$X^2\sim\chi^2(1)$，$Y^2\sim\chi^2(1)$，故D正确。 步骤2：A需$X,Y$独立且正态才保证$X+Y$正态，但题目未说明独立，故不一定；B需独立；C需独立且分母不为零，但未说明独立。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：判断选项D的正确性
由于X和Y均服从标准正态分布，且题目未说明独立，但标准正态分布的平方服从自由度为1的卡方分布，即X^2 ~ χ²(1)，Y^2 ~ χ²(1)，因此D正确。
公式：若Z~N(0,1)，则Z²~χ²(1)
提示：注意：这里不需要独立，因为单个随机变量的平方分布不依赖于独立性。
步骤 2/4
目标：分析选项A
X+Y服从正态分布需要X和Y独立且分别服从正态分布，但题目未说明X与Y独立，因此不一定成立。
公式：若X~N(μ₁,σ₁²), Y~N(μ₂,σ₂²)且独立，则X+Y~N(μ₁+μ₂, σ₁²+σ₂²)
提示：缺少独立性条件时，不能保证和为正态分布。
步骤 3/4
目标：分析选项B
X²+Y²服从χ²分布需要X和Y独立且均服从标准正态分布，但题目未说明独立，因此不一定成立。
公式：若X,Y独立且均服从N(0,1)，则X²+Y²~χ²(2)
提示：独立性是关键条件。
步骤 4/4
目标：分析选项C
X²/Y²服从F分布需要X和Y独立且分母不为零，但题目未说明独立，且Y可能为0，因此不一定成立。
公式：若U~χ²(m), V~χ²(n)且独立，则(U/m)/(V/n)~F(m,n)
提示：需要独立且分母不为零。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。