人邮高数 第2章 第2-5-1题

[AI解答]

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**（1）将 $p(x)$ 按 $(x-1)$ 的乘幂展开**

我们使用泰勒展开（即用 $x-1$ 的幂表示多项式）。 设 $$ p(x) = x^6 - 2x^2 - x + 3 $$ 计算在 $x=1$ 处的各阶导数：

$$ \begin{aligned} p(1) &= 1 - 2 - 1 + 3 = 1, \\ p'(x) &= 6x^5 - 4x - 1, \quad p'(1) = 6 - 4 - 1 = 1, \\ p''(x) &= 30x^4 - 4, \quad p''(1) = 30 - 4 = 26, \\ p'''(x) &= 120x^3, \quad p'''(1) = 120, \\ p^{(4)}(x) &= 360x^2, \quad p^{(4)}(1) = 360, \\ p^{(5)}(x) &= 720x, \quad p^{(5)}(1) = 720, \\ p^{(6)}(x) &= 720, \quad p^{(6)}(1) = 720. \end{aligned} $$

于是按 $(x-1)$ 展开为：

$$ p(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{6} \frac{p^{(k)}(1)}{k!}(x-1)^k $$ 即： $$ p(x) = 1 + 1\cdot(x-1) + \frac{26}{2!}(x-1)^2 + \frac{120}{3!}(x-1)^3 + \frac{360}{4!}(x-1)^4 + \frac{720}{5!}(x-1)^5 + \frac{720}{6!}(x-1)^6 $$

化简系数： $$ \begin{aligned} \frac{26}{2} &= 13, \\ \frac{120}{6} &= 20, \\ \frac{360}{24} &= 15, \\ \frac{720}{120} &= 6, \\ \frac{720}{720} &= 1. \end{aligned} $$

所以： $$ \boxed{p(x) = 1 + (x-1) + 13(x-1)^2 + 20(x-1)^3 + 15(x-1)^4 + 6(x-1)^5 + (x-1)^6} $$

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**（2）将 $p(x)$ 按 $(x+1)$ 的乘幂展开**

此时在 $x = -1$ 处展开。

计算： $$ \begin{aligned} p(-1) &= 1 - 2 + 1 + 3 = 3, \\ p'(x) &= 6x^5 - 4x - 1, \quad p'(-1) = -6 + 4 - 1 = -3, \\ p''(x) &= 30x^4 - 4, \quad p''(-1) = 30 - 4 = 26, \\ p'''(x) &= 120x^3, \quad p'''(-1) = -120, \\ p^{(4)}(x) &= 360x^2, \quad p^{(4)}(-1) = 360, \\ p^{(5)}(x) &= 720x, \quad p^{(5)}(-1) = -720, \\ p^{(6)}(x) &= 720, \quad p^{(6)}(-1) = 720. \end{aligned} $$

于是： $$ p(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{6} \frac{p^{(k)}(-1)}{k!}(x+1)^k $$ 即： $$ p(x) = 3 + (-3)(x+1) + \frac{26}{2!}(x+1)^2 + \frac{-120}{3!}(x+1)^3 + \frac{360}{4!}(x+1)^4 + \frac{-720}{5!}(x+1)^5 + \frac{720}{6!}(x+1)^6 $$

化简系数： $$ \begin{aligned} \frac{26}{2} &= 13, \\ \frac{-120}{6} &= -20, \\ \frac{360}{24} &= 15, \\ \frac{-720}{120} &= -6, \\ \frac{720}{720} &= 1. \end{aligned} $$

所以： $$ \boxed{p(x) = 3 - 3(x+1) + 13(x+1)^2 - 20(x+1)^3 + 15(x+1)^4 - 6(x+1)^5 + (x+1)^6} $$

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难度评级：★★☆☆☆ （主要是计算各阶导数值，无复杂技巧，但计算量稍多）