人邮高数 第2章 第2-6-15题
📝 题目
15．作下列函数的图形： （1）$\displaystyle y=\frac{1}{1+x^{2}}$ ； （2）$y=x \mathrm{e}^{-x}$ ； （3）$y=x \sqrt{3-x}$ ； （4）$y=\sqrt[3]{x^{2}}+2$ ； （5）$\displaystyle y=x^{2}+\frac{1}{x}$ ； （6）$\displaystyle y=\frac{3 x}{(x+1)^{2}}-2$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 以下为各小题的作图分析，包括定义域、奇偶性、单调性、极值、渐近线等，并给出函数图形特征描述。
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### （1）$\displaystyle y=\frac{1}{1+x^{2}}$
- **定义域**：$\mathbb{R}$ - **奇偶性**：偶函数，因为 $f(-x)=f(x)$ - **单调性**： $y' = \displaystyle{}-\frac{2x}{(1+x^2)^2}$ 当 $x<0$ 时 $y'>0$，函数递增；当 $x>0$ 时 $y'<0$，函数递减。 - **极值**：$x=0$ 处取得极大值 $y=1$ - **渐近线**：当 $x\to\pm\infty$，$y\to 0$，有水平渐近线 $y=0$ - **图形特征**：钟形曲线，对称于 $y$ 轴，最高点 $(0,1)$。
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### （2）$y=x \mathrm{e}^{-x}$
- **定义域**：$\mathbb{R}$ - **奇偶性**：非奇非偶 - **单调性**： $y' = \mathrm{e}^{-x} - x\mathrm{e}^{-x} = (1-x)\mathrm{e}^{-x}$ 当 $x<1$ 时 $y'>0$，递增；当 $x>1$ 时 $y'<0$，递减。 - **极值**：$x=1$ 处极大值 $y=\displaystyle{}\frac{1}{\mathrm{e}}$ - **渐近线**：当 $x\to +\infty$，$y\to 0$（水平渐近线 $y=0$）；当 $x\to -\infty$，$y\to -\infty$ - **图形特征**：从第三象限上升至第一象限，过原点，在 $x=1$ 处达到最高，然后衰减趋近0。
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### （3）$y=x \sqrt{3-x}$
- **定义域**：$x \le 3$ - **奇偶性**：非奇非偶 - **单调性**： $y' = \sqrt{3-x} + x \cdot \displaystyle{}\frac{-1}{2\sqrt{3-x}} = \frac{2(3-x)-x}{2\sqrt{3-x}} = \frac{6-3x}{2\sqrt{3-x}}$ 当 $x<2$ 时 $y'>0$，递增；当 $2 --- ### （4）$y=\sqrt[3]{x^{2}}+2$ - **定义域**：$\mathbb{R}$ - **奇偶性**：偶函数，因为 $x^2$ 偶，立方根保持偶性 - **单调性**： $y' = \displaystyle{}\frac{2}{3}x^{-1/3}$，当 $x>0$ 时 $y'>0$，递增；当 $x<0$ 时 $y'<0$，递减。 - **极值**：$x=0$ 处极小值 $y=2$ - **渐近线**：无水平或垂直渐近线 - **图形特征**：类似抛物线但更平缓，最低点 $(0,2)$，两侧对称上升。 --- ### （5）$\displaystyle y=x^{2}+\frac{1}{x}$ - **定义域**：$x \neq 0$ - **奇偶性**：非奇非偶 - **单调性**： $y' = 2x - \displaystyle{}\frac{1}{x^2} = \frac{2x^3-1}{x^2}$ 令 $2x^3-1=0$ 得 $\displaystyle x=\sqrt[3]{\frac12}$ 当 $x<0$ 时 $y'<0$（递减）；当 $0 --- ### （6）$\displaystyle y=\frac{3 x}{(x+1)^{2}}-2$ - **定义域**：$x \neq -1$ - **奇偶性**：非奇非偶 - **单调性**： $y' = \displaystyle{}\frac{3(x+1)^2 - 3x\cdot 2(x+1)}{(x+1)^4} = \frac{3(x+1)-6x}{(x+1)^3} = \frac{3-3x}{(x+1)^3}$ 当 $x<-1$ 或 $x>1$ 时 $y'<0$（递减）；当 $-1 --- 以上为各函数的完整作图分析。如需实际图形，可借助数学软件（如 Desmos、GeoGebra）绘制验证。