人邮高数 第1章 第1-1-7题

[AI解答]

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已知函数为分段函数： $$ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \sin x, & -2 < x < 0, \$$1ex] 1+x^{2}, & 0 \leqslant x < 2. \end{array} \right. $$

下面分别计算各点的函数值。

1. 求 $f(1)$ 因为 $x=1$ 满足 $0 \leqslant x < 2$，所以使用第二段表达式： $$ f(1)=1+1^{2}=1+1=2. $$

2. 求 $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ 因为 $\dfrac{\pi}{2} \approx 1.57$，满足 $0 \leqslant x < 2$，所以使用第二段表达式： $$ f\left(\frac{\pi}{2}\right)=1+\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2}=1+\frac{\pi^{2}}{4}. $$

3. 求 $f\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)$ 因为 $-\dfrac{\pi}{4} \approx -0.785$，满足 $-2 < x < 0$，所以使用第一段表达式： $$ f\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-\sin\frac{\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}. $$

4. 求 $f(-3)$ 因为 $x=-3$ 不在定义域 $-2 < x < 2$ 内，所以函数值不存在（通常记为无定义）。

综上： $$ f(1)=2,\quad f\left(\frac{\pi}{2}\right)=1+\frac{\pi^{2}}{4},\quad f\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2},\quad f(-3)\text{ 无定义}. $$