人邮高数 第2章 第2-6-5题
📝 题目
5．证明方程 $x^{3}+5 x-2=0$ 只有一个正根．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 要证明方程 $x^{3}+5x-2=0$ 只有一个正根，可以从函数的单调性和零点存在性两方面入手。
**第一步：构造函数并分析单调性** 令 $$ f(x)=x^{3}+5x-2 $$ 求导得 $$ f'(x)=3x^{2}+5 $$ 由于 $3x^{2} \geq 0$，因此 $f'(x) \geq 5 > 0$ 对所有实数 $x$ 成立，说明 $f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上严格单调递增。
**第二步：判断正根的存在性** 计算特殊点处的函数值： $$ f(0)=0^{3}+5\cdot 0-2 = -2 < 0 $$ $$ f(1)=1^{3}+5\cdot 1-2 = 4 > 0 $$ 因为 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $f(0)<0$，$f(1)>0$，由零点定理可知，至少存在一个 $c \in (0,1)$ 使得 $f(c)=0$，即方程至少有一个正根。
**第三步：结合单调性说明唯一性** 由于 $f(x)$ 在全体实数上严格单调递增，因此它至多有一个零点。结合第二步，该零点必然在 $(0,1)$ 内，且是唯一的正根。
因此，方程 $x^{3}+5x-2=0$ 有且仅有一个正根。
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：构造函数并分析单调性
令 f(x)=x^3+5x-2，求导得 f'(x)=3x^2+5。由于 3x^2≥0，故 f'(x)≥5>0，所以 f(x) 在 (-∞,+∞) 上严格单调递增。
公式：f'(x)=3x^2+5>0
提示：导数恒大于0说明函数单调递增，这是证明唯一性的关键。
步骤 2/3
目标：判断正根的存在性
计算 f(0)=-2<0，f(1)=4>0。由于 f(x) 在 [0,1] 上连续，由零点定理，存在 c∈(0,1) 使得 f(c)=0，即方程至少有一个正根。
公式：f(0)=-2, f(1)=4
提示：零点定理要求函数在区间端点异号。
步骤 3/3
目标：结合单调性说明唯一性
由于 f(x) 在全体实数上严格单调递增，至多有一个零点。结合第二步，该零点在 (0,1) 内，故方程有且仅有一个正根。
提示：单调递增函数至多有一个零点。
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