人邮高数 第2章 第2-7-24题
📝 题目
24．若抛物线 $y=a x^{2}+b x+c$ 在点 $x=0$ 处与曲线 $y=\mathrm{e}^{x}$ 相切且有相同的曲率半径，试确定系数 $a, b, c$ 。
💡 答案解析
[AI解答]
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**第一步：由相切条件确定参数**
抛物线 $ y = a x^2 + b x + c $ 与曲线 $ y = e^x $ 在 $ x = 0 $ 处相切，意味着两曲线在 $ x = 0 $ 处有相同的函数值和相同的一阶导数。
1. 函数值相等： $$ a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = e^0 = 1 $$ 所以 $$ c = 1. $$
2. 一阶导数相等： 抛物线导数为 $ y' = 2a x + b $，在 $ x = 0 $ 处为 $ b $； $ e^x $ 的导数为 $ e^x $，在 $ x = 0 $ 处为 $ 1 $。 因此 $$ b = 1. $$
**第二步：由曲率半径相等确定 $ a $**
曲率半径公式为： $$ R = \frac{(1 + (y')^2)^{3/2}}{|y''|}. $$
在 $ x = 0 $ 处，两曲线已有相同的 $ y' = 1 $，所以只需保证二阶导数的绝对值相等（因为曲率半径相等且分母取绝对值）。
- 抛物线：$ y'' = 2a $。 - $ e^x $：$ y'' = e^x $，在 $ x = 0 $ 处为 $ 1 $。
因此有： $$ |2a| = 1 \quad\Rightarrow\quad a = \pm \frac{1}{2}. $$
**第三步：确定符号**
曲率半径相等时，曲率中心可以在曲线两侧，但通常题目要求“相同的曲率半径”即数值相等，因此两个解在数学上都成立。若进一步要求弯曲方向相同（即同为凹或凸），则需考察二阶导数符号：$ e^x $ 在 $ x=0 $ 处 $ y'' = 1 > 0 $（凹向上），所以取 $ a = \frac{1}{2} $ 使抛物线也凹向上。但题目未明确要求方向一致，故两个解均可。
因此系数为： $$ a = \frac{1}{2} \quad\text{或}\quad a = -\frac{1}{2},\qquad b = 1,\qquad c = 1. $$
**最终答案**： $$ \boxed{a = \frac{1}{2},\ b = 1,\ c = 1} \quad\text{或}\quad \boxed{a = -\frac{1}{2},\ b = 1,\ c = 1} $$
难度：★★☆☆☆