人邮高数 第2章 第2-7-26题

[AI解答]

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本题需要计算汽车在抛物线拱桥顶点处对桥面的压力。由于汽车在拱桥上做曲线运动，在最高点处存在向心加速度，因此桥面对汽车的支持力不等于汽车的重力，两者之差提供向心力。根据牛顿第三定律，汽车对桥的压力等于桥面对汽车的支持力。

**步骤1：建立坐标系与抛物线方程**

设拱桥的跨度为 $10\,\mathrm{m}$，矢高（拱顶到两端连线的垂直距离）为 $0.25\,\mathrm{m}$。将坐标原点设在拱顶，x轴水平向右，y轴竖直向下为正。则桥的两端坐标为 $(-5, 0.25)$ 和 $(5, 0.25)$，拱顶在 $(0,0)$。

抛物线方程可设为： $$ y = a x^2 $$ 因为顶点在原点且开口向下（相对实际拱形，这里y向下为正，所以a>0时曲线向下弯）。

代入端点坐标 $(5, 0.25)$： $$ 0.25 = a \cdot 5^2 \quad\Rightarrow\quad a = \frac{0.25}{25} = 0.01 $$ 因此桥面曲线方程为： $$ y = 0.01 x^2 $$

**步骤2：求拱顶处的曲率半径**

曲线 $y = f(x)$ 的曲率半径公式为： $$ \rho = \frac{\left(1 + (y')^2\right)^{3/2}}{|y''|} $$

计算导数： $$ y' = 0.02x, \quad y'' = 0.02 $$ 在拱顶 $x=0$ 处： $$ y'(0) = 0, \quad y''(0) = 0.02 $$ 所以曲率半径： $$ \rho = \frac{(1+0)^{3/2}}{0.02} = \frac{1}{0.02} = 50\,\mathrm{m} $$

**步骤3：计算向心加速度与支持力**

汽车质量： $$ m = 5\,\mathrm{t} = 5000\,\mathrm{kg} $$ 速度： $$ v = 21.6\,\mathrm{km/h} = 21.6 \times \frac{1000}{3600} = 6\,\mathrm{m/s} $$

在拱顶处，汽车受到重力 $mg$ 向下，桥面支持力 $N$ 向上。向心力方向指向圆心（即竖直向下，因为曲率中心在下方），由牛顿第二定律： $$ mg - N = m \frac{v^2}{\rho} $$ 所以支持力： $$ N = mg - m\frac{v^2}{\rho} = m\left(g - \frac{v^2}{\rho}\right) $$

代入数值： $$ g = 9.8\,\mathrm{m/s^2},\quad v=6,\quad \rho=50 $$ $$ \frac{v^2}{\rho} = \frac{36}{50} = 0.72 $$ $$ N = 5000 \times (9.8 - 0.72) = 5000 \times 9.08 = 45400\,\mathrm{N} $$

**步骤4：结论**

汽车越过桥顶时对桥的压力大小等于支持力 $N$，方向竖直向下。

$$ \boxed{45400\,\mathrm{N}} $$

难度评级：★★★☆☆ （涉及曲率半径计算、向心力分析及单位换算，属于中等难度综合题）