人邮高数 第2章 第2-7-4题
📝 题目
4．求内接于椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的面积最大的矩形的各边之长．
💡 答案解析
[AI解答]
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**问题**：求内接于椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的面积最大的矩形的各边之长。
**解**： 设矩形在第一象限的顶点坐标为 $(x, y)$，其中 $x > 0,\ y > 0$，且满足椭圆方程 $$ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1. $$ 由对称性，矩形四个顶点分别为 $(\pm x, \pm y)$，因此矩形的边长分别为 $2x$ 和 $2y$，其面积为 $$ S = (2x)(2y) = 4xy. $$ 由椭圆方程解出 $$ y = b\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}},\quad 0 < x < a. $$ 代入面积表达式得 $$ S(x) = 4x \cdot b\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}} = 4b\, x\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}}. $$ 为求最大值，考虑函数 $$ f(x) = x\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}},\quad 0 < x < a. $$ 为简化计算，考虑平方后的函数（单调性相同）： $$ g(x) = f^{2}(x) = x^{2}\left(1-\frac{x^{2}}{a^{2}}\right) = x^{2} - \frac{x^{4}}{a^{2}}. $$ 对 $g(x)$ 求导： $$ g'(x) = 2x - \frac{4x^{3}}{a^{2}} = 2x\left(1 - \frac{2x^{2}}{a^{2}}\right). $$ 令 $g'(x)=0$，得 $$ 1 - \frac{2x^{2}}{a^{2}} = 0 \quad\Rightarrow\quad x^{2} = \frac{a^{2}}{2},\quad x = \frac{a}{\sqrt{2}}. $$ 代入椭圆方程求对应的 $y$： $$ \frac{(a/\sqrt{2})^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{2} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \quad\Rightarrow\quad y^{2} = \frac{b^{2}}{2},\quad y = \frac{b}{\sqrt{2}}. $$ 因此矩形边长分别为 $$ 2x = \sqrt{2}\,a,\qquad 2y = \sqrt{2}\,b. $$ 由二阶导数或函数性态可知，该点为最大值点。
**结论**：面积最大的内接矩形边长分别为 $\sqrt{2}\,a$ 和 $\sqrt{2}\,b$。
难度：★★☆☆☆