人邮高数 第2章 第2-7-6题
📝 题目
6．某车间靠墙壁要盖一间面积为 $64 \mathrm{~m}^{2}$ 的长方形小屋，而现有存砖只够砌 24 m 长的墙壁，问：这些存砖是否足够围成小屋？
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们首先分析问题。小屋是长方形，且靠墙建造，因此只需要砌三面墙（两面侧墙和一面正墙，靠墙的一面不需要砌）。设垂直于墙壁的边长为 $x$ 米，平行于墙壁的边长为 $y$ 米，则面积为：
$$ x \cdot y = 64 $$
所需砌墙的总长度为：
$$ L = 2x + y $$
由面积条件得 $y = \displaystyle{\frac{64}{x}}$，代入总长度：
$$ L(x) = 2x + \frac{64}{x}, \quad x > 0 $$
我们要求这个函数的最小值，看最小需要的墙长是否超过 24 米。若最小值 ≤ 24，则存砖足够；否则不够。
对 $L(x)$ 求导：
$$ L'(x) = 2 - \frac{64}{x^{2}} $$
令导数为零：
$$ 2 - \frac{64}{x^{2}} = 0 \quad\Rightarrow\quad x^{2} = 32 \quad\Rightarrow\quad x = 4\sqrt{2} $$
此时：
$$ y = \frac{64}{4\sqrt{2}} = \frac{16}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{2} $$
最小墙长：
$$ L_{\min} = 2 \cdot 4\sqrt{2} + 8\sqrt{2} = 8\sqrt{2} + 8\sqrt{2} = 16\sqrt{2} $$
计算数值：
$$ 16\sqrt{2} \approx 16 \times 1.4142 = 22.6272 $$
因为 $22.6272 < 24$，所以存砖足够围成小屋，并且还有剩余。
**结论**：这些存砖足够围成面积为 64 m² 的长方形小屋。
难度：★★☆☆☆