人邮高数 第2章 第2-7-9题
📝 题目
9．从半径为 $R$ 的圆上截下中心角为 $\theta$ 的扇形，卷成一圆雉形漏斗，问：$\theta$ 为何值时，漏斗的容积最大。
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们考虑半径为 $R$ 的圆，截取中心角为 $\theta$（弧度制）的扇形，将其卷成一个圆锥形漏斗。 扇形弧长即为圆锥底面周长，底面半径记为 $r$，则有：
$$ 2\pi r = R\theta \quad\Rightarrow\quad r = \frac{R\theta}{2\pi}. $$
扇形的半径 $R$ 成为圆锥的母线长度 $l = R$。 圆锥的高 $h$ 由勾股定理得到：
$$ h = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{R^2 - \left(\frac{R\theta}{2\pi}\right)^2} = R\sqrt{1 - \frac{\theta^2}{4\pi^2}}. $$
圆锥的体积公式为：
$$ V = \frac{1}{3}\pi r^2 h. $$
代入 $r$ 和 $h$：
$$ V(\theta) = \frac{1}{3}\pi \left( \frac{R^2\theta^2}{4\pi^2} \right) \cdot R\sqrt{1 - \frac{\theta^2}{4\pi^2}} = \frac{R^3}{12\pi}\, \theta^2 \sqrt{1 - \frac{\theta^2}{4\pi^2}}. $$
为简化，令 $t = \theta^2$，则 $0 < \theta < 2\pi$，即 $0 < t < 4\pi^2$。 体积函数（去掉常数因子）可写为：
$$ f(t) = t \sqrt{1 - \frac{t}{4\pi^2}}. $$
求导：
$$ f'(t) = \sqrt{1 - \frac{t}{4\pi^2}} + t \cdot \frac{1}{2\sqrt{1 - \frac{t}{4\pi^2}}} \cdot \left(-\frac{1}{4\pi^2}\right) = \sqrt{1 - \frac{t}{4\pi^2}} - \frac{t}{8\pi^2\sqrt{1 - \frac{t}{4\pi^2}}}. $$
令 $f'(t)=0$，两边乘以 $\sqrt{1 - \frac{t}{4\pi^2}}$：
$$ 1 - \frac{t}{4\pi^2} - \frac{t}{8\pi^2} = 0 \;\Rightarrow\; 1 - \frac{3t}{8\pi^2} = 0 \;\Rightarrow\; t = \frac{8\pi^2}{3}. $$
于是：
$$ \theta = \sqrt{t} = \sqrt{\frac{8\pi^2}{3}} = 2\pi\sqrt{\frac{2}{3}}. $$
由于定义域内导数符号由正变负，该点为极大值点，即最大容积点。
因此，当中心角 $\displaystyle \theta = 2\pi\sqrt{\frac{2}{3}}$ 时，漏斗容积最大。
难度：★★☆☆☆