人邮高数 第3章 第3-1-6题
📝 题目
6．已知 $f^{\prime}(x)=1+x^{2}$ ，且 $f(0)=1$ ，求 $f(x)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 已知 $ f'(x) = 1 + x^2 $，且 $ f(0) = 1 $。 要求 $ f(x) $，只需对导数进行积分：
$$ f(x) = \int f'(x) \, dx = \int (1 + x^2) \, dx $$
计算不定积分：
$$ \int (1 + x^2) \, dx = \int 1 \, dx + \int x^2 \, dx = x + \frac{x^3}{3} + C $$
其中 $ C $ 为积分常数。 利用初始条件 $ f(0) = 1 $ 确定 $ C $：
$$ f(0) = 0 + \frac{0^3}{3} + C = C = 1 $$
因此：
$$ f(x) = x + \frac{x^3}{3} + 1 $$
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：写出f(x)与f'(x)的关系
已知f'(x)=1+x^2，且f(0)=1。要求f(x)，需对导数进行积分：f(x)=∫f'(x)dx=∫(1+x^2)dx。
公式：f(x)=∫f'(x)dx
提示：积分是导数的逆运算。
步骤 2/4
目标：计算不定积分
∫(1+x^2)dx = ∫1dx + ∫x^2dx = x + x^3/3 + C，其中C为积分常数。
公式：∫1dx = x, ∫x^2dx = x^3/3
提示：幂函数积分公式：∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) (n≠-1)。
步骤 3/4
目标：利用初始条件确定常数C
代入x=0，f(0)=0+0/3+C=C=1，所以C=1。
公式：f(0)=C=1
提示：初始条件用于确定积分常数。
步骤 4/4
目标：写出f(x)的表达式
因此f(x)=x + x^3/3 + 1。
公式：f(x)=x + x^3/3 + 1
提示：检查：求导得f'(x)=1+x^2，且f(0)=1，符合条件。
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