人邮高数 第3章 第3-4-6题

[AI解答]

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**习题3-4 第6题：估计下列定积分值的范围**

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### （1）$\displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{1}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$

**步骤1：确定被积函数的单调性与最值** 在区间 $[0,1]$ 上，函数 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ 是连续且单调递减的，因为导数 $$ f'(x)=-\frac{2x}{(1+x^2)^2} \le 0 $$ 因此最大值在 $x=0$ 处取得，最小值在 $x=1$ 处取得。

**步骤2：计算最值** 最大值：$f(0)=1$ 最小值：$\displaystyle f(1)=\frac{1}{2}$

**步骤3：利用定积分估值定理** 由估值定理： 若 $m \le f(x) \le M$ 在 $[a,b]$ 上成立，则 $$ m(b-a) \le \int_a^b f(x)\,dx \le M(b-a) $$ 这里 $a=0,b=1$，$\displaystyle m=\frac12$，$M=1$，于是 $$ \frac12 \cdot 1 \le \int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\,dx \le 1 \cdot 1 $$ 即 $$ \frac12 \le \int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\,dx \le 1 $$

**（实际上该积分精确值为 $\displaystyle \frac{\pi}{4}\approx 0.785$，落在区间内。）**

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### （2）$\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(1+\cos ^{4} x\right) \mathrm{d} x$

**步骤1：确定被积函数的范围** 在 $\displaystyle [0,\frac{\pi}{2}]$ 上，$\cos x$ 从 $1$ 递减到 $0$，因此 $\cos^4 x$ 从 $1$ 递减到 $0$。 于是 $$ 1+0 \le 1+\cos^4 x \le 1+1 $$ 即 $$ 1 \le 1+\cos^4 x \le 2 $$

**步骤2：应用估值定理** 区间长度 $\displaystyle b-a = \frac{\pi}{2}$，因此 $$ 1 \cdot \frac{\pi}{2} \le \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1+\cos^4 x)\,dx \le 2 \cdot \frac{\pi}{2} $$ 即 $$ \frac{\pi}{2} \le \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1+\cos^4 x)\,dx \le \pi $$

**（精确值可通过公式计算得 $\displaystyle \frac{3\pi}{8}+\frac{\pi}{2}=\frac{7\pi}{8}\approx 2.748$，落在该区间内。）**

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**最终答案：** （1）$\displaystyle \frac12 \le \int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\,dx \le 1$ （2）$\displaystyle \frac{\pi}{2} \le \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1+\cos^4 x)\,dx \le \pi$

难度：★☆☆☆☆