人邮高数 第3章 第3-5-12题

[AI解答]

[AI解答] 已知条件为 $$ f'(x) \cdot \int_{0}^{2} f(x) \, \mathrm{d}x = 50, $$ 且 $ f(0) = 0 $。

由于积分 $\displaystyle{\int_{0}^{2} f(x) \, \mathrm{d}x}$ 是一个常数，记作 $$ C = \int_{0}^{2} f(x) \, \mathrm{d}x, $$ 则原方程化为 $$ f'(x) \cdot C = 50 \quad \Rightarrow \quad f'(x) = \frac{50}{C}. $$ 这说明 $ f'(x) $ 是常数，因此 $ f(x) $ 是一次函数。设 $$ f(x) = kx + b, $$ 由 $ f(0) = 0 $ 得 $ b = 0 $，所以 $$ f(x) = kx. $$ 于是 $$ f'(x) = k. $$ 代入 $ f'(x) = \frac{50}{C} $ 得 $$ k = \frac{50}{C}. $$ 现在计算常数 $ C $： $$ C = \int_{0}^{2} kx \, \mathrm{d}x = k \cdot \left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{2} = k \cdot \frac{4}{2} = 2k. $$ 将 $ k = \frac{50}{C} $ 代入上式： $$ C = 2 \cdot \frac{50}{C} \quad \Rightarrow \quad C^{2} = 100 \quad \Rightarrow \quad C = \pm 10. $$ 因此 $$ k = \frac{50}{C} = \frac{50}{\pm 10} = \pm 5. $$ 所以 $$ f(x) = 5x \quad \text{或} \quad f(x) = -5x. $$

难度：★★☆☆☆