人邮高数 第3章 第3-5-2题
📝 题目
2．求下列函数的导数： （1）$y=\displaystyle{\int}_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}-t} \mathrm{~d} t$ ； （2）$y=\displaystyle{\int}_{0}^{\sqrt{x}} \cos t^{2} \mathrm{~d} t$ ； （3）$y=\displaystyle{\int}_{x^{2}}^{5} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t$ ； （4）$y=\displaystyle{\int}_{2 x}^{x^{2}} \sqrt{1+t^{3}} \mathrm{~d} t$ ； （5）$y=\displaystyle{\int}_{\sqrt{x}}^{\sqrt[3]{x}} \ln \left(1+t^{6}\right) \mathrm{d} t ;$ （6）$y=\displaystyle{\int}_{\sin x}^{\cos x} \cos \left(\pi t^{2}\right) \mathrm{d} t$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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以下为各小题的求解过程，均利用**莱布尼茨公式**（含参变量积分求导法则）：
若 $$ F(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt $$ 则 $$ F'(x)=f(b(x))\cdot b'(x)-f(a(x))\cdot a'(x) $$
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### （1） $$ y=\int_{0}^{x} e^{t^{2}-t}\,dt $$ 这里 $a(x)=0,\ b(x)=x$，则 $$ y' = e^{x^{2}-x}\cdot 1 - e^{0^{2}-0}\cdot 0 = e^{x^{2}-x} $$ **难度：★☆☆☆☆**
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### （2） $$ y=\int_{0}^{\sqrt{x}} \cos t^{2}\,dt $$ $a(x)=0,\ b(x)=\sqrt{x}$，则 $$ y' = \cos\left((\sqrt{x})^{2}\right) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - 0 = \cos x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} $$ **难度：★☆☆☆☆**
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### （3） $$ y=\int_{x^{2}}^{5} \frac{\sin t}{t}\,dt $$ 注意积分上限为常数，下限为 $x^{2}$，则 $$ y' = f(5)\cdot 0 - f(x^{2})\cdot 2x = -\frac{\sin(x^{2})}{x^{2}} \cdot 2x = -\frac{2\sin(x^{2})}{x} $$ **难度：★★☆☆☆**
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### （4） $$ y=\int_{2x}^{x^{2}} \sqrt{1+t^{3}}\,dt $$ $a(x)=2x,\ b(x)=x^{2}$，则 $$ y' = \sqrt{1+(x^{2})^{3}}\cdot 2x - \sqrt{1+(2x)^{3}}\cdot 2 = 2x\sqrt{1+x^{6}} - 2\sqrt{1+8x^{3}} $$ **难度：★★☆☆☆**
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### （5） $$ y=\int_{\sqrt{x}}^{\sqrt[3]{x}} \ln(1+t^{6})\,dt $$ $a(x)=\sqrt{x}=x^{1/2},\ b(x)=\sqrt[3]{x}=x^{1/3}$，则 $$ y' = \ln\left(1+(x^{1/3})^{6}\right)\cdot \frac{1}{3}x^{-2/3} - \ln\left(1+(x^{1/2})^{6}\right)\cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} $$ 化简： $$ (x^{1/3})^{6}=x^{2},\quad (x^{1/2})^{6}=x^{3} $$ 所以 $$ y' = \frac{\ln(1+x^{2})}{3\sqrt[3]{x^{2}}} - \frac{\ln(1+x^{3})}{2\sqrt{x}} $$ **难度：★★★☆☆**
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### （6） $$ y=\int_{\sin x}^{\cos x} \cos(\pi t^{2})\,dt $$ $a(x)=\sin x,\ b(x)=\cos x$，则 $$ y' = \cos\left(\pi (\cos x)^{2}\right)\cdot (-\sin x) - \cos\left(\pi (\sin x)^{2}\right)\cdot (\cos x) $$ 即 $$ y' = -\sin x \cos(\pi \cos^{2}x) - \cos x \cos(\pi \sin^{2}x) $$ **难度：★★★☆☆**
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**总体难度评级：★★☆☆☆** （主要考察莱布尼茨公式的直接应用，个别题需注意复合函数求导细节）