人邮高数 第3章 第3-5-6题
📝 题目
6．设 $y(x)$ 是由方程 $\displaystyle{\int}_{0}^{y} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t+\displaystyle{\int}_{0}^{x} \cos \left(t^{2}\right) \mathrm{d} t=0$ 所确定的隐函数，求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们已知隐函数方程： $$ \int_{0}^{y} e^{-t^{2}} \, dt + \int_{0}^{x} \cos(t^{2}) \, dt = 0 $$ 要求 $\frac{dy}{dx}$。
对方程两边关于 $x$ 求导，注意 $y$ 是 $x$ 的函数。使用变上限积分求导公式： $$ \frac{d}{dx} \int_{0}^{y(x)} e^{-t^{2}} dt = e^{-y^{2}} \cdot \frac{dy}{dx} $$ 以及 $$ \frac{d}{dx} \int_{0}^{x} \cos(t^{2}) dt = \cos(x^{2}) $$
因此，对原方程两边求导得： $$ e^{-y^{2}} \cdot \frac{dy}{dx} + \cos(x^{2}) = 0 $$
解得： $$ \frac{dy}{dx} = - \frac{\cos(x^{2})}{e^{-y^{2}}} = - e^{y^{2}} \cos(x^{2}) $$
因此结果为： $$ \boxed{\frac{dy}{dx} = -e^{y^{2}} \cos(x^{2})} $$
难度：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：对方程两边关于x求导
方程两边对x求导，注意y是x的函数。左边第一项是∫从0到y e^{-t^2} dt，其导数为e^{-y^2} * dy/dx；左边第二项是∫从0到x cos(t^2) dt，其导数为cos(x^2)。
公式：d/dx ∫_0^{y(x)} f(t) dt = f(y(x)) * y'(x)
提示：使用变上限积分求导公式时，注意上限是函数y(x)。
步骤 2/2
目标：得到导数方程并求解
求导后得到 e^{-y^2} * dy/dx + cos(x^2) = 0，移项得 dy/dx = -cos(x^2) / e^{-y^2} = -e^{y^2} cos(x^2)。
公式：e^{-y^2} y' + cos(x^2) = 0 ⇒ y' = -e^{y^2} cos(x^2)
提示：注意负号，且e^{-y^2}在分母时变为e^{y^2}。
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