人邮高数 第3章 第3-6-11题
📝 题目
11．设 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上连续，证明以下结论成立． （1）若 $f(x)$ 在区间 $[-a, a](a\gt 0)$ 上连续且为偶函数，则 $\displaystyle{\int}_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=2 \displaystyle{\int}_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x$ ； （2）若 $f(x)=f(x+T)$（ $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的周期函数），则
$$ \displaystyle{\int}_{a}^{a+T} f(x) \mathrm{d} x=\displaystyle{\int}_{0}^{T} f(x) \mathrm{d} x ; $$
（3） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} f(\sin x) \mathrm{d} x=2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{d} x$ ； （4） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} x f(\sin x) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(\sin x) \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们逐条证明如下。
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### （1）偶函数积分性质
已知 $ f(x) $ 在 $[-a,a]$ 上连续且为偶函数，即 $ f(-x) = f(x) $。 将积分拆分为： $$ \int_{-a}^{a} f(x) \, dx = \int_{-a}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{a} f(x) \, dx. $$ 对第一项作变量代换 $ x = -t $，则 $ dx = -dt $，当 $ x = -a $ 时 $ t = a $，当 $ x = 0 $ 时 $ t = 0 $，于是 $$ \int_{-a}^{0} f(x) \, dx = \int_{a}^{0} f(-t) (-dt) = \int_{0}^{a} f(-t) \, dt. $$ 由偶函数性质 $ f(-t) = f(t) $，得 $$ \int_{-a}^{0} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(t) \, dt. $$ 因此 $$ \int_{-a}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(t) \, dt + \int_{0}^{a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx. $$ 证毕。
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### （2）周期函数积分性质
已知 $ f(x+T) = f(x) $。 作变量代换 $ u = x - a $，则 $ x = u + a $，$ dx = du $，当 $ x = a $ 时 $ u = 0 $，当 $ x = a+T $ 时 $ u = T $，于是 $$ \int_{a}^{a+T} f(x) \, dx = \int_{0}^{T} f(u + a) \, du. $$ 由周期性，$ f(u + a) = f(u) $（因为 $ f $ 以 $ T $ 为周期，而 $ a $ 是任意实数，并不破坏周期性），所以 $$ \int_{a}^{a+T} f(x) \, dx = \int_{0}^{T} f(u) \, du. $$ 证毕。
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### （3）关于 $\sin x$ 的对称性
考虑积分 $$ I = \int_{0}^{\pi} f(\sin x) \, dx. $$ 作变量代换 $ x = \pi - t $，则 $ dx = -dt $，当 $ x = 0 $ 时 $ t = \pi $，当 $ x = \pi $ 时 $ t = 0 $，于是 $$ I = \int_{\pi}^{0} f(\sin(\pi - t)) (-dt) = \int_{0}^{\pi} f(\sin t) \, dt. $$ 这说明积分形式不变，但我们需要的是区间拆分。利用对称性，将积分拆为： $$ I = \int_{0}^{\pi/2} f(\sin x) \, dx + \int_{\pi/2}^{\pi} f(\sin x) \, dx. $$ 对第二项作代换 $ x = \pi - u $，则 $ \sin x = \sin u $，且当 $ x = \pi/2 $ 时 $ u = \pi/2 $，当 $ x = \pi $ 时 $ u = 0 $，于是 $$ \int_{\pi/2}^{\pi} f(\sin x) \, dx = \int_{\pi/2}^{0} f(\sin u) (-du) = \int_{0}^{\pi/2} f(\sin u) \, du. $$ 因此 $$ I = \int_{0}^{\pi/2} f(\sin x) \, dx + \int_{0}^{\pi/2} f(\sin x) \, dx = 2 \int_{0}^{\pi/2} f(\sin x) \, dx. $$ 证毕。
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### （4）关于 $ x f(\sin x) $ 的对称性
设 $$ J = \int_{0}^{\pi} x f(\sin x) \, dx. $$ 作代换 $ x = \pi - t $，则 $ dx = -dt $，当 $ x = 0 $ 时 $ t = \pi $，当 $ x = \pi $ 时 $ t = 0 $，于是 $$ J = \int_{\pi}^{0} (\pi - t) f(\sin(\pi - t)) (-dt) = \int_{0}^{\pi} (\pi - t) f(\sin t) \, dt. $$ 即 $$ J = \pi \int_{0}^{\pi} f(\sin t) \, dt - \int_{0}^{\pi} t f(\sin t) \, dt = \pi \int_{0}^{\pi} f(\sin x) \, dx - J. $$ 移项得 $$ 2J = \pi \int_{0}^{\pi} f(\sin x) \, dx, $$ 所以 $$ J = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(\sin x) \, dx. $$ 证毕。
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**难度评级**：★★☆☆☆ （题目基础，主要考察变量代换与对称性技巧，步骤清晰，计算量小。）