人邮高数 第3章 第3-7-*14题
📝 题目
＊14．某下水道的横截面是直径为 3 m 的圆，水平铺设，下水道内水深 1.5 m ，求与下水道垂直的闸门所受的压力。
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 要计算闸门所受的压力，先明确物理模型：闸门垂直于水流方向，其形状是圆的一部分（即圆被水平线截得的弓形区域）。已知圆的直径 $3\,\text{m}$，半径 $R = 1.5\,\text{m}$，水深 $h = 1.5\,\text{m}$。由于水深恰好等于半径，水面正好位于圆心位置，因此闸门浸没部分为下半圆。
建立坐标系：取圆心为原点，竖直向下为 $y$ 轴正方向，则圆的方程为 $$ x^2 + y^2 = R^2 = (1.5)^2 = 2.25 $$ 水深从水面（$y=0$）到底部（$y=R=1.5$）。在深度 $y$ 处，取一水平微条，宽度为 $2x$，厚度为 $\mathrm{d}y$，该微条面积为 $$ \mathrm{d}A = 2x\,\mathrm{d}y = 2\sqrt{R^2 - y^2}\,\mathrm{d}y $$ 该微条所受压强为 $p = \rho g y$，其中水的密度 $\rho = 1000\,\text{kg/m}^3$，重力加速度 $g = 9.8\,\text{m/s}^2$。因此微条所受压力微元为 $$ \mathrm{d}F = p\,\mathrm{d}A = \rho g y \cdot 2\sqrt{R^2 - y^2}\,\mathrm{d}y $$ 总压力为 $$ F = \int_{0}^{R} 2\rho g y \sqrt{R^2 - y^2}\,\mathrm{d}y $$ 令 $u = R^2 - y^2$，则 $\mathrm{d}u = -2y\,\mathrm{d}y$，当 $y=0$ 时 $u=R^2$，当 $y=R$ 时 $u=0$，于是 $$ F = \int_{R^2}^{0} \rho g (-\sqrt{u})\,\mathrm{d}u = \rho g \int_{0}^{R^2} u^{1/2}\,\mathrm{d}u $$ 计算积分： $$ \int_{0}^{R^2} u^{1/2}\,\mathrm{d}u = \left.\frac{2}{3}u^{3/2}\right|_{0}^{R^2} = \frac{2}{3}(R^2)^{3/2} = \frac{2}{3}R^3 $$ 代入 $R = 1.5\,\text{m}$，得 $$ F = \rho g \cdot \frac{2}{3} (1.5)^3 = \frac{2}{3} \rho g \cdot 3.375 = 2.25\,\rho g $$ 取 $\rho = 1000$，$g = 9.8$，则 $$ F = 2.25 \times 1000 \times 9.8 = 22050\,\text{N} $$ 因此闸门所受压力为 $22050\,\text{N}$（或 $2.205\times 10^4\,\text{N}$）。
难度：★★☆☆☆ （涉及积分应用与简单变量替换，计算量不大，但需建立正确坐标系与物理模型）