人邮高数 第4章 第4-2-5题
📝 题目
5．一曲线通过点 $(2,3)$ ，它在两坐标轴之间的任意切线均被切点所平分，求该曲线的方程．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 设曲线方程为 $y = y(x)$，且过点 $(2,3)$。 任取曲线上一点 $P(x_0, y_0)$，其中 $y_0 = y(x_0)$，该点处切线斜率为 $y'(x_0)$，切线方程为：
$$ y - y_0 = y'(x_0)(x - x_0) $$
求该切线与两坐标轴的交点坐标： 令 $x = 0$，得纵截距 $$ Y = y_0 - x_0 y'(x_0) $$ 令 $y = 0$，得横截距 $$ X = x_0 - \frac{y_0}{y'(x_0)} $$ 因此切线与坐标轴的交点为 $(0, Y)$ 和 $(X, 0)$。
题意说：切点 $(x_0, y_0)$ 是这两交点所连线段的中点。 由中点公式：
$$ x_0 = \frac{X + 0}{2}, \quad y_0 = \frac{0 + Y}{2} $$
代入 $X, Y$ 表达式：
由 $x_0 = \frac{X}{2}$ 得 $$ X = 2x_0 \quad\Rightarrow\quad x_0 - \frac{y_0}{y'(x_0)} = 2x_0 $$ 化简得 $$ - \frac{y_0}{y'(x_0)} = x_0 $$ 即 $$ y_0 = -x_0 y'(x_0) \tag{1} $$
由 $y_0 = \frac{Y}{2}$ 得 $$ Y = 2y_0 \quad\Rightarrow\quad y_0 - x_0 y'(x_0) = 2y_0 $$ 化简得 $$ - x_0 y'(x_0) = y_0 $$ 这与(1)式一致，所以条件等价于微分方程：
$$ y = -x \frac{dy}{dx} $$
分离变量：
$$ \frac{dy}{y} = -\frac{dx}{x} $$
积分得：
$$ \displaystyle{\int \frac{dy}{y} = -\int \frac{dx}{x}} $$ $$ \ln|y| = -\ln|x| + C $$ $$ \ln|y| + \ln|x| = C $$ $$ \ln|xy| = C $$ $$ xy = \pm e^{C} = k $$
即通解为 $$ xy = k $$
由曲线过点 $(2,3)$，代入得 $2 \cdot 3 = k = 6$，所以曲线方程为：
$$ xy = 6 $$
因此所求曲线是等轴双曲线。
难度：★★☆☆☆