人邮高数 第4章 第4-3-5题
📝 题目
5．下列函数组在其定义域内哪些是线性无关的？ （1） $\mathrm{e}^{x^{2}}, x \mathrm{e}^{x^{2}}$ ； （2） $\mathrm{e}^{a x}, \mathrm{e}^{b x}(a \neq b)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 要判断函数组在定义域内是否线性无关，通常使用线性相关性的定义：若存在不全为零的常数使得它们的线性组合恒为零，则线性相关；否则线性无关。
（1）考虑函数 $f_1(x) = e^{x^2}$，$f_2(x) = x e^{x^2}$。 设存在常数 $c_1, c_2$，使得对定义域内所有 $x$ 有 $$ c_1 e^{x^2} + c_2 x e^{x^2} = 0. $$ 提取公因子 $e^{x^2} > 0$，得 $$ e^{x^2} (c_1 + c_2 x) = 0. $$ 由于 $e^{x^2} \neq 0$，故必须有 $$ c_1 + c_2 x = 0, \quad \forall x \in \mathbb{R}. $$ 这是一个关于 $x$ 的一次多项式恒为零，因此系数必须全为零：$c_1 = 0$，$c_2 = 0$。 所以这两个函数线性无关。
（2）考虑函数 $f_1(x) = e^{ax}$，$f_2(x) = e^{bx}$，其中 $a \neq b$。 设存在常数 $c_1, c_2$，使得 $$ c_1 e^{ax} + c_2 e^{bx} = 0, \quad \forall x \in \mathbb{R}. $$ 若 $c_2 \neq 0$，则可写成 $$ \frac{c_1}{c_2} e^{(a-b)x} + 1 = 0, $$ 即 $$ \frac{c_1}{c_2} e^{(a-b)x} = -1. $$ 由于 $a \neq b$，左边是指数函数，不是常数，不可能对所有 $x$ 恒等于 $-1$，矛盾。因此 $c_2 = 0$，进而 $c_1 = 0$。 所以这两个函数也线性无关。
最终答案： （1）线性无关； （2）线性无关。
难度：★☆☆☆☆