人邮高数 第4章 第4-4-5题
📝 题目
5．一质量为 $m$ 的物体，在黏性液体中由静止自由下落。假设液体阻力与运动速度成正比，试求物体的运动规律．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 设物体下落方向为 $x$ 轴正方向，$t=0$ 时 $x=0$，速度 $v=0$。液体阻力与速度成正比，设比例系数为 $k>0$，则阻力大小为 $kv$，方向与运动方向相反。根据牛顿第二定律，有：
$$ m\frac{dv}{dt} = mg - kv $$
这是一个一阶线性微分方程，写成标准形式：
$$ \frac{dv}{dt} + \frac{k}{m}v = g $$
先解对应的齐次方程 $\displaystyle \frac{dv}{dt} + \frac{k}{m}v = 0$，得通解 $\displaystyle v_h = C e^{-\frac{k}{m}t}$。 设特解为常数 $v_p = A$，代入原方程得：
$$ 0 + \frac{k}{m}A = g \quad\Rightarrow\quad A = \frac{mg}{k} $$
因此通解为：
$$ v(t) = \frac{mg}{k} + C e^{-\frac{k}{m}t} $$
由初始条件 $v(0)=0$ 得：
$$ 0 = \frac{mg}{k} + C \quad\Rightarrow\quad C = -\frac{mg}{k} $$
所以速度函数为：
$$ v(t) = \frac{mg}{k}\left(1 - e^{-\frac{k}{m}t}\right) $$
再对速度积分得到位移 $x(t)$，由 $x(0)=0$：
$$ x(t) = \int_0^t v(\tau)\,d\tau = \frac{mg}{k}\int_0^t \left(1 - e^{-\frac{k}{m}\tau}\right)d\tau $$
计算积分：
$$ \int_0^t 1\,d\tau = t,\quad \int_0^t e^{-\frac{k}{m}\tau}d\tau = \left[-\frac{m}{k}e^{-\frac{k}{m}\tau}\right]_0^t = \frac{m}{k}\left(1 - e^{-\frac{k}{m}t}\right) $$
因此：
$$ x(t) = \frac{mg}{k}\left[t - \frac{m}{k}\left(1 - e^{-\frac{k}{m}t}\right)\right] $$
这就是物体的运动规律。当 $t\to\infty$ 时，$\displaystyle v\to \frac{mg}{k}$（收尾速度），而 $x(t)$ 近似为匀速直线运动。
难度：★★☆☆☆