人邮高数 第5章 第5-1-12题
📝 题目
12．已知两点 $M_{1}(2,2, \sqrt{2})$ 和 $M_{2}(1,3,0)$ ，计算向量 $\overrightarrow{M_{1} M_{2}}$ 的模、方向余弦和方向角．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 已知两点 $M_{1}(2,2,\sqrt{2})$ 和 $M_{2}(1,3,0)$，先求向量 $\overrightarrow{M_{1}M_{2}}$：
$$ \overrightarrow{M_{1}M_{2}} = (1-2,\;3-2,\;0-\sqrt{2}) = (-1,\;1,\;-\sqrt{2}) $$
**1. 向量的模** $$ |\overrightarrow{M_{1}M_{2}}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 1 + 2} = \sqrt{4} = 2 $$
**2. 方向余弦** 方向余弦公式为： $$ \cos\alpha = \frac{x}{|\vec{v}|},\quad \cos\beta = \frac{y}{|\vec{v}|},\quad \cos\gamma = \frac{z}{|\vec{v}|} $$ 代入得： $$ \cos\alpha = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2},\quad \cos\beta = \frac{1}{2},\quad \cos\gamma = \frac{-\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$
**3. 方向角** 由方向余弦值求角度（通常取 $0 \le \alpha,\beta,\gamma \le \pi$）： $$ \alpha = \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3} $$ $$ \beta = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3} $$ $$ \gamma = \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\pi}{4} $$
因此，向量 $\overrightarrow{M_{1}M_{2}}$ 的模为 $2$，方向余弦为 $\left(-\dfrac{1}{2},\;\dfrac{1}{2},\;-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$，方向角为 $\left(\dfrac{2\pi}{3},\;\dfrac{\pi}{3},\;\dfrac{3\pi}{4}\right)$。
难度：★☆☆☆☆