人邮高数 第5章 第5-1-8题
📝 题目
8．记 $\boldsymbol{e}_{a}$ 为非零向量 $\boldsymbol{a}$ 的同向单位向量，证明： $\displaystyle \boldsymbol{e}_{a}=\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们已知 $\boldsymbol{e}_a$ 定义为与非零向量 $\boldsymbol{a}$ 同方向的单位向量，即满足两个条件： 1. 方向与 $\boldsymbol{a}$ 相同； 2. 模长为 $1$，即 $|\boldsymbol{e}_a| = 1$。
设 $\boldsymbol{a}$ 为非零向量，其模长为 $|\boldsymbol{a}| > 0$。考虑向量 $$ \frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|} $$ 首先验证方向：因为 $|\boldsymbol{a}|$ 是正标量，所以 $\displaystyle \frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}$ 与 $\boldsymbol{a}$ 方向相同。 其次验证模长： $$ \left|\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}\right| = \frac{|\boldsymbol{a}|}{|\boldsymbol{a}|} = 1 $$ 因此 $\displaystyle \frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}$ 满足单位向量且与 $\boldsymbol{a}$ 同向，由单位向量的唯一性（方向确定且模为1），得 $$ \boldsymbol{e}_a = \frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|} $$ 证毕。
难度：★☆☆☆☆