人邮高数 第5章 第5-2-10题
📝 题目
10．求平行于平面 $6 x+y+6 z+5=0$ 且与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 设所求平面方程为 $$ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1, $$ 其中 $a, b, c > 0$。该平面与三个坐标面围成的四面体体积为 $$ V = \frac{1}{6} |abc| = \frac{abc}{6}. $$ 要求体积为 1，即 $$ \frac{abc}{6} = 1 \quad \Rightarrow \quad abc = 6. $$
又因为平面与已知平面 $6x + y + 6z + 5 = 0$ 平行，所以它们的法向量平行。已知平面的法向量为 $(6, 1, 6)$，而所设平面的法向量为 $\left(\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}\right)$（由方程 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ 化为标准形式 $ \frac{1}{a}x + \frac{1}{b}y + \frac{1}{c}z = 1$ 可得）。
因此存在常数 $k \neq 0$ 使得 $$ \frac{1}{a} = 6k,\quad \frac{1}{b} = k,\quad \frac{1}{c} = 6k. $$ 于是 $$ a = \frac{1}{6k},\quad b = \frac{1}{k},\quad c = \frac{1}{6k}. $$
代入体积条件 $abc = 6$： $$ \frac{1}{6k} \cdot \frac{1}{k} \cdot \frac{1}{6k} = \frac{1}{36 k^3} = 6. $$ 解得 $$ \frac{1}{36 k^3} = 6 \quad\Rightarrow\quad 1 = 216 k^3 \quad\Rightarrow\quad k^3 = \frac{1}{216} \quad\Rightarrow\quad k = \frac{1}{6}. $$
于是 $$ a = \frac{1}{6 \cdot \frac{1}{6}} = 1,\quad b = \frac{1}{\frac{1}{6}} = 6,\quad c = \frac{1}{6 \cdot \frac{1}{6}} = 1. $$
所以平面方程为 $$ \frac{x}{1} + \frac{y}{6} + \frac{z}{1} = 1, $$ 即 $$ x + \frac{y}{6} + z = 1, $$ 或乘以 6 得 $$ 6x + y + 6z = 6. $$
因此所求平面方程为 $$ \boxed{6x + y + 6z = 6}. $$
难度：★★☆☆☆