人邮高数 第5章 第5-2-15题
📝 题目
15．推导两平行平面 $A x+B y+C z+D_{i}=0, i=1,2$ 之间的距离公式；并求将两平行平面 $x-2 y+z-2=0$ 与 $x-2 y+z-6=0$ 之间距离分成 $1: 3$ 的平面方程。
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] **第一步：推导两平行平面之间的距离公式** 设两平行平面方程为 $$ A x + B y + C z + D_1 = 0, \quad A x + B y + C z + D_2 = 0. $$ 任取第一个平面上一点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$，满足 $$ A x_0 + B y_0 + C z_0 + D_1 = 0. $$ 点 $P_0$ 到第二个平面的距离公式为 $$ d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}. $$ 将 $A x_0 + B y_0 + C z_0 = -D_1$ 代入，得 $$ d = \frac{|-D_1 + D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} = \frac{|D_2 - D_1|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}. $$ 因此两平行平面之间的距离公式为 $$ \boxed{d = \frac{|D_2 - D_1|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}}. $$
**第二步：求将给定两平面间距离分成1:3的平面方程** 已知两平面： $$ \pi_1: x - 2y + z - 2 = 0, \quad \pi_2: x - 2y + z - 6 = 0. $$ 它们平行，法向量为 $(1, -2, 1)$，常数项分别为 $D_1 = -2$，$D_2 = -6$。 两平面之间的距离为 $$ d = \frac{|-6 - (-2)|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|-4|}{\sqrt{6}} = \frac{4}{\sqrt{6}}. $$ 设所求平面为 $$ \pi: x - 2y + z + D = 0, $$ 它与 $\pi_1$ 的距离记为 $d_1$，与 $\pi_2$ 的距离记为 $d_2$，且满足 $$ d_1 : d_2 = 1 : 3 \quad \text{或} \quad d_1 : d_2 = 3 : 1, $$ 因为平面可以在两平面之间或之外。
**情况1：平面在$\pi_1$与$\pi_2$之间** 此时 $d_1 + d_2 = d = \frac{4}{\sqrt{6}}$，且 $d_1 : d_2 = 1:3$，解得 $$ d_1 = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}, \quad d_2 = \frac{3}{\sqrt{6}}. $$ 由距离公式，$\pi$ 与 $\pi_1$ 的距离为 $$ \frac{|D - (-2)|}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}} \quad \Rightarrow \quad |D + 2| = 1. $$ 因为平面在中间，$D$ 应在 $-2$ 与 $-6$ 之间，所以 $D+2 = -1$，即 $D = -3$。 此时平面方程为 $$ x - 2y + z - 3 = 0. $$
**情况2：平面在$\pi_1$外侧（靠近$\pi_1$一侧）** 此时 $d_1 = \frac{1}{3} d_2$，且 $d_2 - d_1 = d = \frac{4}{\sqrt{6}}$，解得 $$ d_1 = \frac{2}{\sqrt{6}}, \quad d_2 = \frac{6}{\sqrt{6}}. $$ 由 $d_1 = \frac{|D+2|}{\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$ 得 $|D+2| = 2$。 若平面在$\pi_1$外侧且远离$\pi_2$，则 $D < -6$，取 $D+2 = -2$，得 $D = -4$（但 $-4$ 在 $-2$ 与 $-6$ 之间，矛盾）；若取 $D+2 = 2$，得 $D=0$，此时平面在$\pi_1$另一侧，且与$\pi_2$距离为 $$ \frac{|0 - (-6)|}{\sqrt{6}} = \frac{6}{\sqrt{6}}, $$ 符合 $d_2 = 6/\sqrt{6}$，因此 $D=0$ 是解。 此时平面方程为 $$ x - 2y + z = 0. $$
**情况3：平面在$\pi_2$外侧（靠近$\pi_2$一侧）** 此时 $d_2 = \frac{1}{3} d_1$，且 $d_1 - d_2 = d$，解得 $$ d_1 = \frac{6}{\sqrt{6}}, \quad d_2 = \frac{2}{\sqrt{6}}. $$ 由 $d_2 = \frac{|D+6|}{\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$ 得 $|D+6| = 2$。 若平面在$\pi_2$外侧且远离$\pi_1$，则 $D < -6$，取 $D+6 = -2$，得 $D = -8$； 此时与$\pi_1$距离为 $$ \frac{|-8 - (-2)|}{\sqrt{6}} = \frac{6}{\sqrt{6}}, $$ 符合 $d_1 = 6/\sqrt{6}$。因此 $D = -8$ 是解。 此时平面方程为 $$ x - 2y + z - 8 = 0. $$
**最终答案** 所求平面方程有三个可能： $$ \boxed{x - 2y + z - 3 = 0},\quad \boxed{x - 2y + z = 0},\quad \boxed{x - 2y + z - 8 = 0}. $$
难度：★★☆☆☆