人邮高数 第5章 第5-3-1题
📝 题目
1．求满足下列条件的直线方程． （1）过点 $(2,-1,4)$ 且与直线 $\displaystyle \frac{x-1}{3}=\frac{y}{-1}=\frac{z+1}{2}$ 平行； （2）过点 $(2,-3,5)$ 且与平面 $9 x-4 y+2 z-1=0$ 垂直； （3）过点 $(3,4,-4)$ 和 $(3,-2,2)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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**（1）** 已知直线方向向量为 $$ \vec{s} = (3, -1, 2) $$ 所求直线与它平行，且过点 $(2, -1, 4)$，则对称式方程为 $$ \frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z - 4}{2} $$ 参数式方程为 $$ \begin{cases} x = 2 + 3t, \\ y = -1 - t, \\ z = 4 + 2t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}) $$
**（2）** 平面法向量为 $$ \vec{n} = (9, -4, 2) $$ 直线与平面垂直，故直线的方向向量可取为 $\vec{n}$，且过点 $(2, -3, 5)$，则对称式方程为 $$ \frac{x - 2}{9} = \frac{y + 3}{-4} = \frac{z - 5}{2} $$ 参数式方程为 $$ \begin{cases} x = 2 + 9t, \\ y = -3 - 4t, \\ z = 5 + 2t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}) $$
**（3）** 过两点 $(3, 4, -4)$ 和 $(3, -2, 2)$，方向向量为 $$ \vec{v} = (3 - 3,\; -2 - 4,\; 2 - (-4)) = (0, -6, 6) $$ 可简化为 $(0, -1, 1)$。取点 $(3, 4, -4)$，则对称式方程为 $$ \frac{x - 3}{0} = \frac{y - 4}{-1} = \frac{z + 4}{1} $$ （注意 $x$ 方向分量为 0，表示直线垂直于 $x$ 轴，即 $x = 3$ 恒定） 参数式方程为 $$ \begin{cases} x = 3, \\ y = 4 - t, \\ z = -4 + t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}) $$
难度：★☆☆☆☆