人邮高数 第5章 第5-3-14题

[AI解答]

[AI解答] 我们要求点 $P_0(3,-1,-1)$ 在平面 $\Pi: x+2y+3z-40=0$ 上的投影点。投影点即过 $P_0$ 且垂直于平面的直线与平面的交点。

**第一步：确定平面的法向量** 由平面方程 $x+2y+3z-40=0$，可知法向量为 $$ \vec{n} = (1,2,3) $$

**第二步：写出过 $P_0$ 且垂直于平面的直线参数方程** 直线的方向向量即法向量 $\vec{n}$，因此直线参数方程为 $$ \begin{cases} x = 3 + t,\\ y = -1 + 2t,\\ z = -1 + 3t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R} $$

**第三步：将直线参数代入平面方程求参数 $t$** 代入 $x+2y+3z-40=0$： $$ (3+t) + 2(-1+2t) + 3(-1+3t) - 40 = 0 $$ 逐项计算： $$ 3 + t -2 + 4t -3 + 9t - 40 = 0 $$ 合并常数项： $$ 3 - 2 - 3 - 40 = -42 $$ 合并 $t$ 的系数： $$ t + 4t + 9t = 14t $$ 因此得到： $$ 14t - 42 = 0 \quad\Rightarrow\quad t = 3 $$

**第四步：求出投影点坐标** 将 $t=3$ 代回直线参数方程： $$ x = 3 + 3 = 6,\quad y = -1 + 6 = 5,\quad z = -1 + 9 = 8 $$ 所以投影点为 $$ \boxed{(6,5,8)} $$

**难度评级**：★☆☆☆☆ （直接套用公式，计算简单，无复杂技巧）