人邮高数 第5章 第5-3-18题

[AI解答]

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我们要求过点 $P(2,1,3)$ 且与给定直线垂直相交的直线方程。 已知直线为： $$ \frac{x+1}{3} = \frac{y-1}{2} = \frac{z}{-1} $$ 其方向向量为： $$ \vec{s} = (3, 2, -1) $$

设所求直线与已知直线的交点为 $Q$，则 $Q$ 在已知直线上，可设参数形式： $$ Q = (-1 + 3t,\; 1 + 2t,\; -t) $$

由于所求直线过 $P(2,1,3)$ 且与已知直线垂直，所以向量 $\overrightarrow{PQ}$ 与方向向量 $\vec{s}$ 垂直，即点积为零： $$ \overrightarrow{PQ} = ( -1 + 3t - 2,\; 1 + 2t - 1,\; -t - 3 ) = (3t - 3,\; 2t,\; -t - 3) $$ 点积条件： $$ (3t - 3)\cdot 3 + (2t)\cdot 2 + (-t - 3)\cdot (-1) = 0 $$ 计算： $$ 9t - 9 + 4t + t + 3 = 0 $$ $$ 14t - 6 = 0 $$ $$ t = \frac{3}{7} $$

代入得交点： $$ Q = \left(-1 + \frac{9}{7},\; 1 + \frac{6}{7},\; -\frac{3}{7}\right) = \left(\frac{2}{7},\; \frac{13}{7},\; -\frac{3}{7}\right) $$

于是所求直线的方向向量为： $$ \overrightarrow{PQ} = \left( \frac{2}{7} - 2,\; \frac{13}{7} - 1,\; -\frac{3}{7} - 3 \right) = \left( -\frac{12}{7},\; \frac{6}{7},\; -\frac{24}{7} \right) $$ 可约去公因子 $\frac{6}{7}$ 得方向向量： $$ (-2,\; 1,\; -4) $$

因此所求直线方程为： $$ \frac{x - 2}{-2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 3}{-4} $$

难度：★★☆☆☆