人邮高数 第5章 第5-3-21题
📝 题目
21．一直线 $l$ 过点 $A(-3,5,-9)$ 且与两直线 $l_{1}:\left\{\begin{array}{l}y=3 x+5, \\ z=2 x-3,\end{array} l_{2}:\left\{\begin{array}{l}y=4 x-7, \\ z=5 x+10\end{array}\right.\right.$ 相交，求此直线方程．
💡 答案解析
[AI解答]
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**分析**： 已知直线 $l$ 过点 $A(-3,5,-9)$，且与两条直线 $l_1$ 和 $l_2$ 均相交。由于 $l$ 与 $l_1$、$l_2$ 相交，则 $l$ 必然位于由点 $A$ 与 $l_1$ 确定的平面，同时也位于由点 $A$ 与 $l_2$ 确定的平面，因此 $l$ 是这两个平面的交线。
**步骤**：
1. **将直线 $l_1$ 和 $l_2$ 化为对称式（点向式）** - 对 $l_1$： $$ \begin{cases} y = 3x + 5,\\ z = 2x - 3 \end{cases} $$ 令 $x = t$，则 $$ (x, y, z) = (t, 3t+5, 2t-3) $$ 方向向量 $\vec{s_1} = (1, 3, 2)$，过点 $P_1 = (0, 5, -3)$。
- 对 $l_2$： $$ \begin{cases} y = 4x - 7,\\ z = 5x + 10 \end{cases} $$ 令 $x = s$，则 $$ (x, y, z) = (s, 4s-7, 5s+10) $$ 方向向量 $\vec{s_2} = (1, 4, 5)$，过点 $P_2 = (0, -7, 10)$。
2. **构造由点 $A$ 与直线 $l_1$ 确定的平面 $\Pi_1$** 平面 $\Pi_1$ 包含点 $A$ 和直线 $l_1$，因此它包含向量 $\overrightarrow{AP_1}$ 和方向向量 $\vec{s_1}$。 $$ \overrightarrow{AP_1} = (0 - (-3),\; 5 - 5,\; -3 - (-9)) = (3, 0, 6) $$ 法向量： $$ \vec{n_1} = \overrightarrow{AP_1} \times \vec{s_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 0 & 6 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0\cdot 2 - 6\cdot 3) - \mathbf{j}(3\cdot 2 - 6\cdot 1) + \mathbf{k}(3\cdot 3 - 0\cdot 1) $$ 计算： $$ = \mathbf{i}(0 - 18) - \mathbf{j}(6 - 6) + \mathbf{k}(9 - 0) = (-18, 0, 9) $$ 可约去公因子 9，取 $\vec{n_1} = (-2, 0, 1)$。
平面方程： $$ -2(x + 3) + 0(y - 5) + 1(z + 9) = 0 $$ 即 $$ -2x - 6 + z + 9 = 0 \quad\Rightarrow\quad -2x + z + 3 = 0 $$ 或 $$ z = 2x - 3 $$
3. **构造由点 $A$ 与直线 $l_2$ 确定的平面 $\Pi_2$** $$ \overrightarrow{AP_2} = (0 - (-3),\; -7 - 5,\; 10 - (-9)) = (3, -12, 19) $$ 法向量： $$ \vec{n_2} = \overrightarrow{AP_2} \times \vec{s_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & -12 & 19 \\ 1 & 4 & 5 \end{vmatrix} $$ 计算： $$ = \mathbf{i}((-12)\cdot 5 - 19\cdot 4) - \mathbf{j}(3\cdot 5 - 19\cdot 1) + \mathbf{k}(3\cdot 4 - (-12)\cdot 1) $$ $$ = \mathbf{i}(-60 - 76) - \mathbf{j}(15 - 19) + \mathbf{k}(12 + 12) = (-136, 4, 24) $$ 约去公因子 4，取 $\vec{n_2} = (-34, 1, 6)$。
平面方程： $$ -34(x + 3) + 1(y - 5) + 6(z + 9) = 0 $$ 化简： $$ -34x - 102 + y - 5 + 6z + 54 = 0 $$ $$ -34x + y + 6z - 53 = 0 $$
4. **求两平面交线即为所求直线 $l$** 联立： $$ \begin{cases} z = 2x - 3,\\ -34x + y + 6z - 53 = 0 \end{cases} $$ 将第一式代入第二式： $$ -34x + y + 6(2x - 3) - 53 = 0 $$ $$ -34x + y + 12x - 18 - 53 = 0 $$ $$ -22x + y - 71 = 0 \quad\Rightarrow\quad y = 22x + 71 $$ 因此直线参数方程为： $$ \begin{cases} x = t,\\ y = 22t + 71,\\ z = 2t - 3 \end{cases} $$ 方向向量 $\vec{s} = (1, 22, 2)$，过点 $A(-3,5,-9)$ 验证： 当 $t = -3$ 时，$y = 22(-3) + 71 = 5$，$z = 2(-3)-3 = -9$，符合。
**最终直线方程**（对称式）： $$ \frac{x + 3}{1} = \frac{y - 5}{22} = \frac{z + 9}{2} $$
难度：★★☆☆☆