人邮高数 第5章 第5-3-4题
📝 题目
4．求过点 $(1,0,-2)$ 且与平面 $3 x+4 y-z+6=0$ 平行，又与直线 $\displaystyle \frac{x-3}{1}=\frac{y+2}{4}=\frac{z}{1}$垂直的直线方程．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求一条直线，它满足三个条件： 1. 过点 $P(1,0,-2)$； 2. 与平面 $3x+4y-z+6=0$ 平行； 3. 与直线 $\displaystyle{\frac{x-3}{1}=\frac{y+2}{4}=\frac{z}{1}}$ 垂直。
---
**第一步：确定方向向量的条件** 设所求直线的方向向量为 $\vec{s} = (a,b,c)$。
- 与平面平行，意味着方向向量垂直于平面的法向量。 平面法向量 $\vec{n} = (3,4,-1)$，因此 $$ \vec{s} \cdot \vec{n} = 3a + 4b - c = 0. \tag{1} $$
- 与已知直线垂直，意味着方向向量垂直于已知直线的方向向量。 已知直线的方向向量 $\vec{v} = (1,4,1)$，因此 $$ \vec{s} \cdot \vec{v} = a + 4b + c = 0. \tag{2} $$
---
**第二步：解方程组求方向向量** 联立 (1) 和 (2)： $$ \begin{cases} 3a + 4b - c = 0,\\ a + 4b + c = 0. \end{cases} $$
两式相加得： $$ 4a + 8b = 0 \quad\Rightarrow\quad a = -2b. $$
代入第二个方程： $$ -2b + 4b + c = 0 \quad\Rightarrow\quad 2b + c = 0 \quad\Rightarrow\quad c = -2b. $$
取 $b = 1$，则 $a = -2$，$c = -2$，得到方向向量 $$ \vec{s} = (-2, 1, -2). $$
---
**第三步：写出直线方程** 过点 $(1,0,-2)$，方向向量 $(-2,1,-2)$，对称式方程为： $$ \frac{x-1}{-2} = \frac{y-0}{1} = \frac{z+2}{-2}. $$
也可以写成参数式： $$ \begin{cases} x = 1 - 2t,\\ y = t,\\ z = -2 - 2t. \end{cases} $$
---
**最终答案**： $$ \boxed{\displaystyle{\frac{x-1}{-2} = \frac{y}{1} = \frac{z+2}{-2}}} $$
---
难度评级：★★☆☆☆ （主要是向量点积条件与解方程组，步骤清晰，计算简单。）