人邮高数 第5章 第5-3-7题
📝 题目
7．求点 $(1,2,1)$ 到平面 $x+2 y+2 z-10=0$ 的距离．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 已知点 $P(1,2,1)$，平面方程为 $$ x + 2y + 2z - 10 = 0 $$ 平面法向量为 $\vec{n} = (1, 2, 2)$。 点到平面的距离公式为 $$ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} $$ 代入 $A=1, B=2, C=2, D=-10$，以及 $x_0=1, y_0=2, z_0=1$，得 $$ d = \frac{|1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 - 10|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \frac{|1 + 4 + 2 - 10|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{|-3|}{\sqrt{9}} = \frac{3}{3} = 1 $$ 因此，点 $(1,2,1)$ 到该平面的距离为 $1$。
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定点坐标和平面方程
已知点 P(1,2,1)，平面方程为 x+2y+2z-10=0。
提示：注意平面方程需化为一般式 Ax+By+Cz+D=0。
步骤 2/6
目标：提取法向量和常数项
从平面方程得到法向量 n=(1,2,2)，常数项 D=-10。
提示：法向量系数对应 x,y,z 的系数。
步骤 3/6
目标：代入点到平面距离公式
距离公式 d = |Ax0+By0+Cz0+D| / √(A²+B²+C²)，代入 A=1,B=2,C=2,D=-10,x0=1,y0=2,z0=1。
公式：d = |Ax0+By0+Cz0+D| / √(A²+B²+C²)
提示：注意绝对值符号，确保距离非负。
步骤 4/6
目标：计算分子
计算 |1*1+2*2+2*1-10| = |1+4+2-10| = |-3| = 3。
提示：先算内积再取绝对值。
步骤 5/6
目标：计算分母
计算 √(1²+2²+2²) = √(1+4+4) = √9 = 3。
提示：法向量模长。
步骤 6/6
目标：得出距离
d = 3/3 = 1。
提示：最终结果。
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