人邮高数 第5章 第5-3-*23题
📝 题目
＊23．设直线 $\displaystyle l_{1}: \frac{x-x_{1}}{m_{1}}=\frac{y-y_{1}}{n_{1}}=\frac{z-z_{1}}{p_{1}}$ ，其中 $\boldsymbol{s}_{1}=\left(m_{1}, n_{1}, p_{1}\right), M_{1}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ ，直线 $\displaystyle l_{2}: \frac{x-x_{2}}{m_{2}}=\frac{y-y_{2}}{n_{2}}=\frac{z-z_{2}}{p_{2}}$ ，其中 $\boldsymbol{s}_{2}=\left(m_{2}, n_{2}, p_{2}\right), M_{2}\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$ ，证明：异面直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离为 $\displaystyle d=\frac{\left|\overrightarrow{M_{1} M_{2}} \cdot\left(\boldsymbol{s}_{1} \times \boldsymbol{s}_{2}\right)\right|}{\left|\boldsymbol{s}_{1} \times \boldsymbol{s}_{2}\right|}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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**证明：** 设两条异面直线 $l_1$ 和 $l_2$ 分别过点 $M_1(x_1, y_1, z_1)$ 和 $M_2(x_2, y_2, z_2)$，方向向量分别为 $$ \boldsymbol{s}_1 = (m_1, n_1, p_1), \quad \boldsymbol{s}_2 = (m_2, n_2, p_2). $$
由于两直线异面，它们既不平行也不相交，因此 $\boldsymbol{s}_1$ 与 $\boldsymbol{s}_2$ 不平行，即 $\boldsymbol{s}_1 \times \boldsymbol{s}_2 \neq \mathbf{0}$。
异面直线之间的距离定义为它们公垂线的长度。公垂线的方向向量正是 $\boldsymbol{s}_1 \times \boldsymbol{s}_2$，即同时垂直于 $\boldsymbol{s}_1$ 和 $\boldsymbol{s}_2$ 的向量。
考虑向量 $\overrightarrow{M_1 M_2} = (x_2 - x_1,\; y_2 - y_1,\; z_2 - z_1)$，它在公垂线方向上的投影长度的绝对值就是两直线之间的距离。
设 $\boldsymbol{n} = \boldsymbol{s}_1 \times \boldsymbol{s}_2$，则 $\boldsymbol{n}$ 是公垂线的方向向量。向量 $\overrightarrow{M_1 M_2}$ 在 $\boldsymbol{n}$ 方向上的投影长度为： $$ \frac{|\overrightarrow{M_1 M_2} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}. $$
因此，两异面直线之间的距离为 $$ d = \frac{|\overrightarrow{M_1 M_2} \cdot (\boldsymbol{s}_1 \times \boldsymbol{s}_2)|}{|\boldsymbol{s}_1 \times \boldsymbol{s}_2|}. $$
证毕。
**难度评级：★★☆☆☆**