人邮高数 第5章 第5-4-2题
📝 题目
2．已知球面的一条直径的两个端点是 $(2,-3,5)$ 和 $(4,1,-3)$ ，写出球面方程．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 已知球面的一条直径的两个端点为 $A(2,-3,5)$ 和 $B(4,1,-3)$，则球心 $C$ 为线段 $AB$ 的中点：
$$ C = \left( \frac{2+4}{2},\ \frac{-3+1}{2},\ \frac{5+(-3)}{2} \right) = (3,\ -1,\ 1). $$
半径 $R$ 等于直径长度的一半。先计算直径长度：
$$ |AB| = \sqrt{(4-2)^2 + (1-(-3))^2 + (-3-5)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2 + (-8)^2} = \sqrt{4 + 16 + 64} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21}. $$
因此半径：
$$ R = \frac{|AB|}{2} = \sqrt{21}. $$
球面方程为：
$$ (x - 3)^2 + (y + 1)^2 + (z - 1)^2 = (\sqrt{21})^2, $$
即
$$ (x - 3)^2 + (y + 1)^2 + (z - 1)^2 = 21. $$
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求球心坐标
球心是直径的中点，利用中点坐标公式计算：((2+4)/2, (-3+1)/2, (5+(-3))/2) = (3, -1, 1)。
公式：中点坐标公式：((x1+x2)/2, (y1+y2)/2, (z1+z2)/2)
提示：注意符号，避免计算错误。
步骤 2/4
目标：求直径长度
利用两点间距离公式计算直径长度：√((4-2)^2 + (1-(-3))^2 + (-3-5)^2) = √(4+16+64) = √84 = 2√21。
公式：两点间距离公式：√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)
提示：计算平方和时仔细，避免漏项。
步骤 3/4
目标：求半径
半径是直径的一半：R = (2√21)/2 = √21。
公式：半径 = 直径/2
提示：直接除以2，无需化简。
步骤 4/4
目标：写出球面方程
代入球心(3,-1,1)和半径√21到球面标准方程：(x-3)^2 + (y+1)^2 + (z-1)^2 = 21。
公式：球面方程：(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2 = R^2
提示：注意符号：y+1对应y-(-1)。
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