人邮高数 第5章 第5-4-9题
📝 题目
9．指出下列方程组表示什么曲线。 （1）$\left\{\begin{array}{l}4 x^{2}+9 y^{2}+z^{2}=37, \\ z=1 ;\end{array}\right.$ （2）$\left\{\begin{array}{l}z=x^{2}+y^{2}, \\ y=1 .\end{array}\right.$
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] （1）方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} 4 x^{2}+9 y^{2}+z^{2}=37, \\ z=1 ; \end{array}\right. $$ 将 $z=1$ 代入第一个方程，得 $$ 4x^{2}+9y^{2}+1=37 \quad\Rightarrow\quad 4x^{2}+9y^{2}=36. $$ 两边同除以 36： $$ \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1. $$ 这是平面 $z=1$ 上的一个椭圆，中心在 $(0,0,1)$，长轴在 $x$ 方向（半长轴 3），短轴在 $y$ 方向（半短轴 2）。 因此，该方程组表示一个**椭圆**。
（2）方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} z=x^{2}+y^{2}, \\ y=1 ; \end{array}\right. $$ 将 $y=1$ 代入第一个方程，得 $$ z=x^{2}+1. $$ 这是平面 $y=1$ 上的一条抛物线，开口向上，顶点在 $(0,1,1)$。 因此，该方程组表示一条**抛物线**。
难度评级：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将z=1代入第一个方程
将z=1代入4x^2+9y^2+z^2=37，得到4x^2+9y^2+1=37。
公式：4x^2+9y^2+1=37
提示：代入时注意符号和常数项。
步骤 2/5
目标：化简方程
移项得4x^2+9y^2=36，两边除以36得x^2/9+y^2/4=1。
公式：x^2/9+y^2/4=1
提示：除以36是为了得到标准形式。
步骤 3/5
目标：识别曲线类型
方程x^2/9+y^2/4=1表示一个椭圆，且z=1，所以是平面z=1上的椭圆。
提示：椭圆的标准形式为x^2/a^2+y^2/b^2=1。
步骤 4/5
目标：将y=1代入第一个方程
将y=1代入z=x^2+y^2，得到z=x^2+1。
公式：z=x^2+1
提示：代入时注意y^2=1。
步骤 5/5
目标：识别曲线类型
方程z=x^2+1表示一条抛物线，且y=1，所以是平面y=1上的抛物线。
提示：抛物线标准形式为z=x^2（顶点在原点）。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。