人邮高数 第6章 第6-2-1题

教材习题

📝 题目

1．选择题． （1）以下二元函数的性质中，（ ）是其他的充分条件。 A．连续 B．偏导数存在 C．可微 D．偏导数连续 （2）若函数 $z=f(x, y)$ 在点 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处两个偏导数 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}$ 存在，则在 $P_{0}$ 处 （ ） A．连续 B．可微 C．不一定连续 D．一定不连续 （3）设 $z=x^{y}$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(\mathrm{e}, 1)}=(\quad)$ ． A． 1 B． e C． 0 D．$\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}$ （4）设 $\displaystyle z=\ln \frac{x}{y}$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=(\quad)$ ． A．$\displaystyle \frac{y}{x}$ B．$\displaystyle \frac{1}{x}$ C．$\displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{y}$ D．$\displaystyle \frac{1}{y}$ （5）设 $z=\mathrm{e}^{x y}$ ，则 $\mathrm{d} z=$（ ）． A． $\mathrm{e}^{x y} \mathrm{~d} x$ B．$(x \mathrm{~d} y+y \mathrm{~d} x) \mathrm{e}^{x y}$ C．$x \mathrm{~d} y+y \mathrm{~d} x$ D．$(x+y) \mathrm{e}^{x y}$

💡 答案解析

[AI解答]

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**习题6-2 选择题解答**

**(1)** 分析：二元函数中，偏导数连续 ⇒ 可微 ⇒ 连续，且可微 ⇒ 偏导数存在。因此“偏导数连续”是其他性质的充分条件。 答案：**D**

**(2)** 分析：偏导数存在不能保证函数连续，例如 $$ f(x,y)=\begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq(0,0)\\ 0, & (x,y)=(0,0) \end{cases} $$ 在(0,0)处两个偏导数存在（均为0），但函数不连续。 答案：**C**

**(3)** 已知 $ z = x^y $，则 $$ \frac{\partial z}{\partial y} = x^y \ln x $$ 代入点 $(\mathrm{e}, 1)$： $$ \left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(\mathrm{e},1)} = \mathrm{e}^1 \ln \mathrm{e} = \mathrm{e} \cdot 1 = \mathrm{e} $$ 答案：**B**

**(4)** 已知 $ z = \ln\frac{x}{y} = \ln x - \ln y $，则 $$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{x} $$ 答案：**B**

**(5)** 已知 $ z = \mathrm{e}^{xy} $，则 $$ \frac{\partial z}{\partial x} = y\mathrm{e}^{xy},\quad \frac{\partial z}{\partial y} = x\mathrm{e}^{xy} $$ 全微分： $$ \mathrm{d}z = \frac{\partial z}{\partial x}\mathrm{d}x + \frac{\partial z}{\partial y}\mathrm{d}y = y\mathrm{e}^{xy}\mathrm{d}x + x\mathrm{e}^{xy}\mathrm{d}y = (y\mathrm{d}x + x\mathrm{d}y)\mathrm{e}^{xy} $$ 答案：**B**

难度：★☆☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：解答选择题(1)
分析二元函数性质之间的关系：偏导数连续 ⇒ 可微 ⇒ 连续，且可微 ⇒ 偏导数存在。因此偏导数连续是其他性质的充分条件。
提示：记住性质间的推导关系：偏导数连续是最强的条件。
步骤 2/5
目标：解答选择题(2)
偏导数存在不能保证函数连续。反例：f(x,y)=xy/(x^2+y^2)在(0,0)处偏导数为0，但不连续。
提示：偏导数存在不一定连续，需注意反例。
步骤 3/5
目标：解答选择题(3)
对z=x^y求偏导：∂z/∂y = x^y ln x，代入点(e,1)得 e^1 * ln e = e。
公式：∂/∂y (x^y) = x^y ln x
提示：注意指数函数求导公式。
步骤 4/5
目标：解答选择题(4)
z=ln(x/y)=ln x - ln y，对x求偏导得1/x。
公式：∂/∂x (ln x) = 1/x
提示：对数函数求导。
步骤 5/5
目标：解答选择题(5)
z=e^(xy)，求偏导：∂z/∂x = y e^(xy)，∂z/∂y = x e^(xy)，全微分dz = y e^(xy) dx + x e^(xy) dy = (y dx + x dy) e^(xy)。
公式：d(e^(xy)) = e^(xy)(y dx + x dy)
提示：全微分公式。

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