人邮高数 第6章 第6-2-*17题
📝 题目
＊17．已知边长为 $x=6 \mathrm{~m}$ 与 $y=8 \mathrm{~m}$ 的矩形，如果 $x$ 边增加 5 cm 而 $y$ 减少 10 cm ，问这个矩形的对角线的近似变化怎样？
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 设矩形对角线长度为 $d$，由勾股定理得 $$ d = \sqrt{x^2 + y^2}. $$ 已知 $x = 6\ \mathrm{m}$，$y = 8\ \mathrm{m}$，且变化量 $$ \Delta x = 5\ \mathrm{cm} = 0.05\ \mathrm{m},\quad \Delta y = -10\ \mathrm{cm} = -0.1\ \mathrm{m}. $$ 利用全微分近似公式： $$ \Delta d \approx \mathrm{d}d = \frac{\partial d}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial d}{\partial y} \Delta y. $$ 计算偏导数： $$ \frac{\partial d}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}},\quad \frac{\partial d}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}. $$ 代入初始值： $$ \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10, $$ 所以 $$ \frac{\partial d}{\partial x} = \frac{6}{10} = 0.6,\quad \frac{\partial d}{\partial y} = \frac{8}{10} = 0.8. $$ 于是 $$ \Delta d \approx 0.6 \times 0.05 + 0.8 \times (-0.1) = 0.03 - 0.08 = -0.05\ \mathrm{m}. $$ 即对角线长度大约减少 $0.05\ \mathrm{m}$，也就是 $5\ \mathrm{cm}$。
难度：★★☆☆☆