人邮高数 第6章 第6-3-19题

[AI解答]

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已知方程 $$ x + y + z = e^{z} $$ 确定了隐函数 $z = z(x, y)$。我们首先对原方程两边分别对 $x$ 求偏导，注意 $z$ 是 $x, y$ 的函数。

**第一步：求一阶偏导数**

对 $x$ 求偏导： $$ \frac{\partial}{\partial x}(x + y + z) = \frac{\partial}{\partial x} e^{z} $$ 即 $$ 1 + \frac{\partial z}{\partial x} = e^{z} \frac{\partial z}{\partial x} $$ 移项： $$ 1 = (e^{z} - 1) \frac{\partial z}{\partial x} $$ 所以 $$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{e^{z} - 1} $$

同理，对 $y$ 求偏导： $$ 1 + \frac{\partial z}{\partial y} = e^{z} \frac{\partial z}{\partial y} $$ 得 $$ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{e^{z} - 1} $$ 可见一阶偏导对称。

**第二步：求二阶偏导数**

先求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}$： 由 $$ \frac{\partial z}{\partial x} = (e^{z} - 1)^{-1} $$ 两边对 $x$ 再求偏导： $$ \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = - (e^{z} - 1)^{-2} \cdot e^{z} \cdot \frac{\partial z}{\partial x} $$ 代入 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{e^{z} - 1}$： $$ \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = - \frac{e^{z}}{(e^{z} - 1)^{2}} \cdot \frac{1}{e^{z} - 1} = - \frac{e^{z}}{(e^{z} - 1)^{3}} $$

再求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$： 对 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}$ 关于 $y$ 求偏导： $$ \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} = - \frac{e^{z}}{(e^{z} - 1)^{2}} \cdot \frac{\partial z}{\partial y} $$ 而 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{e^{z} - 1}$，所以 $$ \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} = - \frac{e^{z}}{(e^{z} - 1)^{3}} $$

最后求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}$： 由对称性，与 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}$ 相同： $$ \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = - \frac{e^{z}}{(e^{z} - 1)^{3}} $$

因此最终结果为： $$ \boxed{\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = -\frac{e^{z}}{(e^{z} - 1)^{3}},\quad \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} = -\frac{e^{z}}{(e^{z} - 1)^{3}},\quad \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = -\frac{e^{z}}{(e^{z} - 1)^{3}}} $$

难度：★★☆☆☆