人邮高数 第6章 第6-3-21题

[AI解答]

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### （1） 方程组： $$ \begin{cases} z = x^2 + y^2, \\ x^2 + 2y^2 + 3z^2 = 20. \end{cases} $$ 对第一个方程两边对 $x$ 求导： $$ \frac{dz}{dx} = 2x + 2y \frac{dy}{dx}. $$ 对第二个方程两边对 $x$ 求导： $$ 2x + 4y \frac{dy}{dx} + 6z \frac{dz}{dx} = 0. $$ 将第一式代入第二式： $$ 2x + 4y \frac{dy}{dx} + 6z \left(2x + 2y \frac{dy}{dx}\right) = 0. $$ 整理： $$ 2x + 4y \frac{dy}{dx} + 12xz + 12yz \frac{dy}{dx} = 0, $$ $$ (4y + 12yz) \frac{dy}{dx} + (2x + 12xz) = 0, $$ $$ 4y(1 + 3z) \frac{dy}{dx} = -2x(1 + 6z). $$ 因此： $$ \frac{dy}{dx} = -\frac{x(1 + 6z)}{2y(1 + 3z)}. $$ 再由第一式： $$ \frac{dz}{dx} = 2x + 2y \cdot \left(-\frac{x(1 + 6z)}{2y(1 + 3z)}\right) = 2x - \frac{x(1 + 6z)}{1 + 3z} = \frac{2x(1 + 3z) - x(1 + 6z)}{1 + 3z} = \frac{2x + 6xz - x - 6xz}{1 + 3z} = \frac{x}{1 + 3z}. $$

**答案**： $$ \frac{dy}{dx} = -\frac{x(1 + 6z)}{2y(1 + 3z)},\quad \frac{dz}{dx} = \frac{x}{1 + 3z}. $$

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### （2） 方程组： $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = \frac{1}{2}z^2, \\ x + y + z = 2. \end{cases} $$ 对 $z$ 求导： $$ 2x \frac{dx}{dz} + 2y \frac{dy}{dz} = z, $$ $$ \frac{dx}{dz} + \frac{dy}{dz} + 1 = 0. $$ 设 $p = \frac{dx}{dz},\ q = \frac{dy}{dz}$，则： $$ 2x p + 2y q = z,\quad p + q = -1. $$ 由第二式 $q = -1 - p$，代入第一式： $$ 2x p + 2y(-1 - p) = z, $$ $$ 2x p - 2y - 2y p = z, $$ $$ 2p(x - y) = z + 2y, $$ $$ p = \frac{z + 2y}{2(x - y)}. $$ 于是： $$ q = -1 - \frac{z + 2y}{2(x - y)} = \frac{-2(x - y) - (z + 2y)}{2(x - y)} = \frac{-2x + 2y - z - 2y}{2(x - y)} = \frac{-2x - z}{2(x - y)}. $$

**答案**： $$ \frac{dx}{dz} = \frac{z + 2y}{2(x - y)},\quad \frac{dy}{dz} = -\frac{2x + z}{2(x - y)}. $$

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### （3） 方程组： $$ \begin{cases} u^3 + xv - y = 0, \\ v^3 + yu - x = 0. \end{cases} $$ 对 $x$ 求偏导，视 $u,v$ 为 $x,y$ 的函数，固定 $y$： $$ 3u^2 \frac{\partial u}{\partial x} + v + x \frac{\partial v}{\partial x} = 0, $$ $$ 3v^2 \frac{\partial v}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial x} - 1 = 0. $$ 写成线性方程组： $$ \begin{cases} 3u^2 \frac{\partial u}{\partial x} + x \frac{\partial v}{\partial x} = -v, \\ y \frac{\partial u}{\partial x} + 3v^2 \frac{\partial v}{\partial x} = 1. \end{cases} $$ 系数行列式： $$ \Delta = \begin{vmatrix} 3u^2 & x \\ y & 3v^2 \end{vmatrix} = 9u^2 v^2 - xy. $$ 由克莱姆法则： $$ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\begin{vmatrix} -v & x \\ 1 & 3v^2 \end{vmatrix}}{\Delta} = \frac{-3v^3 - x}{9u^2 v^2 - xy}, $$ $$ \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\begin{vmatrix} 3u^2 & -v \\ y & 1 \end{vmatrix}}{\Delta} = \frac{3u^2 + yv}{9u^2 v^2 - xy}. $$

**答案**： $$ \frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{3v^3 + x}{9u^2 v^2 - xy},\quad \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{3u^2 + yv}{9u^2 v^2 - xy}. $$

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### （4） 方程组： $$ \begin{cases} x + y = u + v, \\ x \sin v = y \sin u. \end{cases} $$ 对 $y$ 求偏导，固定 $x$： $$ 1 = \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial y}, $$ $$ x \cos v \frac{\partial v}{\partial y} = \sin u + y \cos u \frac{\partial u}{\partial y}. $$ 设 $p = \frac{\partial u}{\partial y},\ q = \frac{\partial v}{\partial y}$，则： $$ p + q = 1, $$ $$ x \cos v \cdot q = \sin u + y \cos u \cdot p. $$ 由第一式 $q = 1 - p$，代入第二式： $$ x \cos v (1 - p) = \sin u + y \cos u \cdot p, $$ $$ x \cos v - x \cos v \cdot p = \sin u + y \cos u \cdot p, $$ $$ x \cos v - \sin u = p (x \cos v + y \cos u), $$ $$ p = \frac{x \cos v - \sin u}{x \cos v + y \cos u}. $$ 于是： $$ q = 1 - \frac{x \cos v - \sin u}{x \cos v + y \cos u} = \frac{x \cos v + y \cos u - x \cos v + \sin u}{x \cos v + y \cos u} = \frac{y \cos u + \sin u}{x \cos v + y \cos u}. $$

**答案**： $$ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{x \cos v - \sin u}{x \cos v + y \cos u},\quad \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{y \cos u + \sin u}{x \cos v + y \cos u}. $$

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**难度评级**：★★★☆☆ （涉及隐函数方程组求导，需熟练运用链式法则与克莱姆法则，计算量中等。）